Add lecture link

Mathematik-V-ZF.tex

@@ -164,7 +164,7 @@ Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$
 $$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA  = \oint_C \, v \, ds$$
 Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation)
 
-\vspace{5px}
+\vspace{5pt}
 
 \textbf{Bsp} \\
 Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
@@ -180,8 +180,8 @@ Wir verwenden meistens geographische Koordinaten.
     \caption{Geographisches Koorinatensystem}
     \label{fig:geo-coordinates}
   \end{figure}
-  
-\vspace{5px}
+
+  \vspace{5pt}
 
 Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit:
 $$dx = h_1 \, da$$
@@ -206,8 +206,7 @@ $$J = \left( \begin{array}{ccc}
 \end{array} \right)$$
 
 Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\
-
-\vspace{5px}
+\vspace{5pt}
 \begin{itemize}
     \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\
     \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\
@@ -274,6 +273,98 @@ $$R_0 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S(\delta_I + r)} = \frac{\beta S_f}{\delta_I
 
 Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$
 
+\section{Oszillation}
+\subsection{Reibungsfrei}
+$$\underbrace{\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2}}_\text{Beschleunigung Luftpaket} + \underbrace{N^2 \Delta z}_\text{rücktreibende Kraft} = 0$$
+
+wobei $N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}$ die Brunt-Väisälla-Frequenz
+\vspace{10pt} \\
+Mögliche Lösungen davon
+$$\Delta z(t) = A \sin (Nt)$$
+$$\Delta z(t) = B \cos (Nt)$$
+$$\Delta z(t) = C \sin (Nt) + D \cos (Nt)$$
+$$\Delta z(t) = E \sin (Nt + \delta)$$
+
+oder in komplexer Schreibweise (Euler-Identität)
+$$\Delta z(t) = Ae^{iNt}$$
+
+\subsection{Mit Reibung}
+$$\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2} + N^2 \Delta z + k \frac{D \Delta z}{D t} = 0$$
+Lösung mit Ansatz $\Delta z(t) = A e^{i \omega t}$, führt zu
+$$\omega^2 - ik\omega - N^2 = 0$$
+also $\omega_{1,2} = \frac{1}{2}(ik \pm \sqrt{4N^2 - k^2})$ und somit
+$$\Delta z(t) = A \exp(-\frac{1}{2}kt)\exp(\frac{1}{2}i\sqrt{4N^2 - k^2}t)$$
+
+\section{Wellengleichung}
+\subsection{1D-Welle}
+Für die Amplitude $\psi$
+$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \Delta \psi$$
+wobei $\Delta$ der Laplace-Operator ist. Somit im 1D-Fall
+$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$
+Eine Lösung davon
+$$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$
+wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\
+\vspace{5pt}
+Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\
+\subsubsection{Kennzahlen}
+Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\
+Wellenlänge $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ \\
+Periode $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$
+
+\subsubsection{Wellenüberlagerung}
+Für die Gruppengeschwindigkeit zweier überlagerter Wellen mit $k_1 \neq k_2$ und $\omega_1 \neq \omega_2$ gilt
+$$v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$
+Dispersion tritt auf, falls $v_g \neq v_p$ (in der Praxis meist der Fall)
+
+\subsection{2D-Welle}
+Für eine Linie konstanter Phase
+$$kx + ly - \omega t = \mathrm{const.}$$
+Die Ausbreitung verläuft senkrecht auf diese Linien, was entlang dem Wellenvektor $\vec{h}$ entspricht. \\
+
+\subsubsection{Kennzahlen}
+Für die Wellenlängen gilt
+$$\lambda_x = 2\pi / k, \; \lambda_y = 2\pi / l$$
+bzw. die Wellenlänge entlang der Ausbreitung
+$$\lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$
+Der Wellenvektor ist
+$$\vec{h} = (k,l)$$
+Die Phasengeschwindigkeit
+$$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$
+
+\subsection{Komplexer Wellenansatz}
+\begin{itemize}
+    \item 1D: $A e^{i(kx - \omega t)}$
+    \item 2D: $A e^{i(kx + ly - \omega t)}$
+    \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$
+\end{itemize}
+
+\section{Transportgleichung}
+Sei $\phi(x,y,z,t)$ ein physikalisches Feld mit Punkten $P(x,y,z)$ über die Zeit.
+
+\subsection{Euler'sche Perspektive}
+Beobachtung am Punkt $P(x_0,y_0,z_0)$ wird gemessen:
+$$\phi^E(t) = \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$
+Die zeitliche Änderung
+$$\dot{\phi}^E(t) = \frac{\partial}{\partial t} \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$
+
+\subsection{Lagrange'sche Perspektive}
+Messung wird "mitgetragen", entlang einer Trajektorie $\vec{x}(t)$
+$$\phi^L(t) = \phi(x(t),y(t),z(t),t)$$
+Die zeitliche Änderung (materielle Ableitung)
+$$\dot{\phi}^L(t) = \frac{D}{D t} \phi = \frac{d}{dt} \phi \bigg( x(t),y(t),z(t),t \bigg) = \frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u} \cdot \nabla\phi$$
+Wobei $\vec{u}$ z.B. die Strömungsgeschwindigkeit ist
+
+\subsection{Beliebiger Pfad}
+Als Beispiel bewegen wir uns in einem Flugzeug mit der Geschwindigkeit $\vec{v_F}$, dann gilt für die Veränderung
+$$\frac{\partial \phi}{\partial t}\bigg|_F = \frac{D \phi}{D t} + (\vec{v_F} - \vec{u}) \cdot \nabla \phi$$
+
+\subsection{Quellen und Senken}
+Langrange'sche Perspektive
+$$\frac{D \phi}{D t} = s$$
+Analog für Euler
+$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$
+Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$!
+
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
 $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$
@@ -290,6 +381,8 @@ $$\nabla = \begin{pmatrix}
     \frac{\partial}{\partial z}
 \end{pmatrix}$$
 
+$$\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}$$
+
 \scriptsize
 
 \section{Copyleft}

README.md

@@ -1,7 +1,7 @@
 # Mathematik V ZF
 [![CC BY-SA 3.0][cc-by-sa-shield]][cc-by-sa]
 
-Zusammenfassung für die Vorlesung *Mathematik V* bei M. A. Sprenger im FS21.
+Zusammenfassung für die Vorlesung [*Mathematik V*](http://www.vvz.ethz.ch/Vorlesungsverzeichnis/lerneinheit.view?lerneinheitId=150657&semkez=2021S&ansicht=LEHRVERANSTALTUNGEN&lang=de) bei M. A. Sprenger und weitere Dozenten im FS21.
 
 ## Kompiliertes `.pdf`
 Findest du hier: https://n.ethz.ch/~jannisp/download/Mathematik-V/