Expand SIR further

.gitignore

@@ -297,3 +297,5 @@ TSWLatexianTemp*
 *.glstex
 
 # End of https://www.toptal.com/developers/gitignore/api/latex
+
+.DS_Store

Mathematik-V-ZF.tex

@@ -138,7 +138,7 @@
 
 \begin{center}
      \Large{ZF Mathematik V} \\
-    \small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\
+    \small{701-0106-00L Mathematik V} \\
     \small{Jannis Portmann \the\year} \\
     {\ccbysa}
 \rule{\linewidth}{0.25pt}
@@ -219,26 +219,66 @@ Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathb
 
 
 \subsection{SIR-Modell}
+
 SIR: Susceptible-Infected-Recovered \\
-\vspace{10px}
+
+\subsubsection{Single-Strain SIR}
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=.25\textwidth]{SIR.png}
+    \caption{SIR-Modell}
+    \label{fig:sir}
+\end{figure}
+
+\begin{align*}
+    \frac{dS}{dt} &= \Lambda - \delta_SS - \beta S I \\
+    \frac{dI}{dt} &= \beta S I - \delta_I - rI \\
+    \frac{dR}{dt} &= rI - \delta_R \\
+\end{align*}
+
 $\Lambda$: Geburten- oder Immigrationsrate \\
-$\delta_S, \delta_I, \delta_R$: Sterberaten der jeweiligen (Teil-)populationen
-$r$: Erholungsrate von $I$
-$\beta S I$: Mass-action Infektionsrate
+$\delta_S, \delta_I, \delta_R$: Sterberaten der jeweiligen (Teil-)populationen \\
+$r$: Erholungsrate von $I$ \\
+$\beta S I$: Mass-action Infektionsrate \\
 
 \begin{itemize}
     \item Disease-free equilibrium: 
         $$S_f = \Lambda / \delta_S, I_f=0, R_f=0$$
     \item Endemic equilibrium:
         $$S = \frac{\delta_1 + r}{\beta} , I_e=\frac{\Lambda}{\delta_1} - \frac{\delta_S}{\beta}, R_e = \frac{r}{\delta_R}(\frac{\Lambda}{\delta_1 + r} - \frac{\delta_S}{\beta})$$
-    \item 
 \end{itemize}
 
+Für das Disease-free equilibrium ergeben sich die Eigenwerte aus
+$$(-\delta_S - \lambda)(\frac{\beta \Lambda}{\delta_S} - \delta_I - r - \lambda)(- \delta R - \lambda) = 0$$
+also
+\begin{itemize}
+    \item $\lambda_1 = -\delta_S$
+    \item $\lambda_2 = -\delta_R$
+    \item $\lambda_3 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S} - \delta_I - r$
+\end{itemize}
+
+\subsubsection*{Reproduktionszahl $R_0$}
+$$R_0 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S(\delta_I + r)} = \frac{\beta S_f}{\delta_I + r}$$
+\begin{itemize}
+    \item $R_0 > 1$: Ausbreitung
+    \item $R_0 < 1$: Aussterben
+\end{itemize}
+
+\subsubsection{Multi-Strain SIR}
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=.25\textwidth]{SIR-2.png}
+    \caption{SIR-Modell mit zwei verschiedenen Erregern}
+    \label{fig:sir-2}
+\end{figure}
+
+Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$
+
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
 $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$
 
-\section{Operators}
+\section{Operatoren}
 $$\mathrm{div} \, \vec{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}$$
 
 $$\mathrm{rot} \, \vec{u_{xy}} = \nabla \times \vec{u} = (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})$$
@@ -268,6 +308,7 @@ Jannis Portmann, FS21
 \section*{Bildquellen}
 \begin{itemize}
   \item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg}
+  \item Abb. \ref{fig:sir}, \ref{fig:sir-2}: Vorlesungsunterlagen
 \end{itemize}
 
 \end{multicols*}