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jannisp 2021-07-22 15:56:59 +02:00
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@ -5,7 +5,7 @@
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\usepackage{hyperref} \usepackage{hyperref}
% \usepackage{ccicons} \usepackage{ccicons}
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm} \usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm}
\usepackage{listings} \usepackage{listings}
\usepackage{graphicx} \usepackage{graphicx}
@ -138,12 +138,10 @@
\begin{center} \begin{center}
\Large{ZF Mathematik V} \\ \Large{ZF Mathematik V} \\
\small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\ \small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\
\small{Jannis Portmann \the\year} \small{Jannis Portmann \the\year} \\
\end{center} {\ccbysa}
\rule{\linewidth}{0.25pt}
\begin{center}
\rule{\linewidth}{0.25pt}
\end{center} \end{center}
\section{Gewöhnliche Differentialgleichungen} \section{Gewöhnliche Differentialgleichungen}
@ -163,16 +161,38 @@ $$\iint_A \mathrm{div} \, v \, dA = \oint_C \, v \, dr$$
Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$ Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$
\subsection{Satz von Stokes} \subsection{Satz von Stokes}
$$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \zeta \, dA = \oint_C \, v \, ds$$ $$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA = \oint_C \, v \, ds$$
Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation) Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation)
\vspace{5px} \vspace{5px}
\textbf{Bsp} \\ \textbf{Bsp} \\
Für eine Vorticity-Dsik mit $\zeta = \zeta_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\ Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
Der Satz von Stokes lifert: Der Satz von Stokes lifert:
$$\zeta_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$ $$\xi_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$
nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \zeta_0 R$ nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \xi_0 R$
\subsection{Koordinatentransformation}
Wir verwenden meistens geographische Koordinaten.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.15\textwidth]{1024px-Geographic_coordinates_sphere.png}
\caption{Geographisches Koorinatensystem}
\label{fig:geo-coordinates}
\end{figure}
\vspace{5px}
Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit:
$$dx = h_1 \, da$$
$$dy = h_2 \, db$$
$$dz = h_3 \, dc$$
wobei jeweils $\vec{e_x} = \vec{e_a}$ etc. \\
Aus dem obigen folgen mit dem Satz von Gauss:
$$\mathrm{div} \, v = \frac{1}{h_1 \, h_2} \bigg(\frac{\partial}{\partial a}(u \, h_2) + \frac{\partial}{\partial b}(v \, h_1) \bigg)$$
Analog mit dem Satz von Stokes:
$$\xi = \frac{1}{r \, \cos\varphi} \frac{\partial v}{\partial \lambda} - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} + \frac{\tan \varphi}{r} u$$
Der letzte Term folgt aus der Produkteregel!
\section{Taylor-Reihe} \section{Taylor-Reihe}
An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
@ -205,6 +225,11 @@ Jannis Portmann, FS21
\item Skript zur Vorlesung \item Skript zur Vorlesung
\end{enumerate} \end{enumerate}
\section*{Bildquellen}
\begin{itemize}
\item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg}
\end{itemize}
\end{multicols*} \end{multicols*}
\end{document} \end{document}

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