Add chapter Koordinatentransformation

Mathematik-V-ZF.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
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@@ -139,11 +139,9 @@
 \begin{center}
      \Large{ZF Mathematik V} \\
     \small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\
-		 \small{Jannis Portmann \the\year}
+    \small{Jannis Portmann \the\year} \\
-\end{center}
+    {\ccbysa}
-
+\rule{\linewidth}{0.25pt}
-\begin{center}
-	\rule{\linewidth}{0.25pt}
 \end{center}
 
 \section{Gewöhnliche Differentialgleichungen}
@@ -163,16 +161,38 @@ $$\iint_A \mathrm{div} \, v \, dA = \oint_C \, v \, dr$$
 Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$
 
 \subsection{Satz von Stokes}
-$$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \zeta \, dA  = \oint_C \, v \, ds$$
+$$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA  = \oint_C \, v \, ds$$
 Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation)
 
 \vspace{5px}
 
 \textbf{Bsp} \\
-Für eine Vorticity-Dsik mit $\zeta = \zeta_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
+Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
 Der Satz von Stokes lifert:
-$$\zeta_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$
+$$\xi_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$
-nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \zeta_0 R$
+nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \xi_0 R$
+
+\subsection{Koordinatentransformation}
+Wir verwenden meistens geographische Koordinaten.
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=.15\textwidth]{1024px-Geographic_coordinates_sphere.png}
+    \caption{Geographisches Koorinatensystem}
+    \label{fig:geo-coordinates}
+  \end{figure}
+  
+\vspace{5px}
+
+Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit:
+$$dx = h_1 \, da$$
+$$dy = h_2 \, db$$
+$$dz = h_3 \, dc$$
+wobei jeweils $\vec{e_x} = \vec{e_a}$ etc. \\
+Aus dem obigen folgen mit dem Satz von Gauss:
+$$\mathrm{div} \, v = \frac{1}{h_1 \, h_2} \bigg(\frac{\partial}{\partial a}(u \, h_2) + \frac{\partial}{\partial b}(v \, h_1) \bigg)$$
+Analog mit dem Satz von Stokes:
+$$\xi = \frac{1}{r \, \cos\varphi} \frac{\partial v}{\partial \lambda} - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} + \frac{\tan \varphi}{r} u$$
+Der letzte Term folgt aus der Produkteregel!
 
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
@@ -205,6 +225,11 @@ Jannis Portmann, FS21
     \item Skript zur Vorlesung
 \end{enumerate}
 
+\section*{Bildquellen}
+\begin{itemize}
+  \item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg}
+\end{itemize}
+
 \end{multicols*}
 
 \end{document}