Add SIR chapter

Mathematik-V-ZF.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
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-% \usepackage{ccicons}
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@@ -138,12 +138,10 @@
 
 \begin{center}
      \Large{ZF Mathematik V} \\
-		 \small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\
-		 \small{Jannis Portmann \the\year}
-\end{center}
-
-\begin{center}
-	\rule{\linewidth}{0.25pt}
+    \small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\
+    \small{Jannis Portmann \the\year} \\
+    {\ccbysa}
+\rule{\linewidth}{0.25pt}
 \end{center}
 
 \section{Gewöhnliche Differentialgleichungen}
@@ -157,21 +155,84 @@ $$H(t) = (H_0 - v_0\tau)^{\frac{-t}{\tau}} + v_0 \tau$$
 Für eine Funktion $F$, bei
 $$\frac{dF}{dt} = 0$$
 
+\section{Vektoranalysis}
 \subsection{Satz von Gauss}
 $$\iint_A \mathrm{div} \, v \, dA = \oint_C \, v \, dr$$
 Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$
 
 \subsection{Satz von Stokes}
-$$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \zeta \, dA  = \oint_C \, v \, ds$$
+$$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA  = \oint_C \, v \, ds$$
 Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation)
 
 \vspace{5px}
 
 \textbf{Bsp} \\
-Für eine Vorticity-Dsik mit $\zeta = \zeta_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
+Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
 Der Satz von Stokes lifert:
-$$\zeta_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$
-nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \zeta_0 R$
+$$\xi_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$
+nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \xi_0 R$
+
+\subsection{Koordinatentransformation}
+Wir verwenden meistens geographische Koordinaten.
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=.15\textwidth]{1024px-Geographic_coordinates_sphere.png}
+    \caption{Geographisches Koorinatensystem}
+    \label{fig:geo-coordinates}
+  \end{figure}
+  
+\vspace{5px}
+
+Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit:
+$$dx = h_1 \, da$$
+$$dy = h_2 \, db$$
+$$dz = h_3 \, dc$$
+wobei jeweils $\vec{e_x} = \vec{e_a}$ etc. \\
+Aus dem obigen folgen mit dem Satz von Gauss:
+$$\mathrm{div} \, v = \frac{1}{h_1 \, h_2} \bigg(\frac{\partial}{\partial a}(u \, h_2) + \frac{\partial}{\partial b}(v \, h_1) \bigg)$$
+Analog mit dem Satz von Stokes:
+$$\xi = \frac{1}{r \, \cos\varphi} \frac{\partial v}{\partial \lambda} - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} + \frac{\tan \varphi}{r} u$$
+Der letzte Term folgt aus der Produkteregel!
+
+\section{Matrixmethoden}
+\subsection{Equilibrium}
+Setze $\frac{df_i}{dn_j} = 0$ und löse Gleichungssystem
+
+\subsection{Jacobimatrix}
+$$J = \left( \begin{array}{ccc}
+    \frac{\partial f_1}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_1}{\partial n_k} \\
+    \vdots \ddots \vdots \\
+    \frac{\partial f_k}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_k}{\partial n_k}
+\end{array} \right)$$
+
+Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\
+
+\vspace{5px}
+\begin{itemize}
+    \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\
+    \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\
+    \item $x > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: instabil \\
+    \item $y > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: Oszillation um Equilibrium \\
+    \item $x$ ist die Konvergenz-/Divergenz-Rate zum/vom Equlibrium \\
+    \item $1/y$ ist die Periode der Oszillation
+\end{itemize}
+
+
+\subsection{SIR-Modell}
+SIR: Susceptible-Infected-Recovered \\
+\vspace{10px}
+$\Lambda$: Geburten- oder Immigrationsrate \\
+$\delta_S, \delta_I, \delta_R$: Sterberaten der jeweiligen (Teil-)populationen
+$r$: Erholungsrate von $I$
+$\beta S I$: Mass-action Infektionsrate
+
+\begin{itemize}
+    \item Disease-free equilibrium: 
+        $$S_f = \Lambda / \delta_S, I_f=0, R_f=0$$
+    \item Endemic equilibrium:
+        $$S = \frac{\delta_1 + r}{\beta} , I_e=\frac{\Lambda}{\delta_1} - \frac{\delta_S}{\beta}, R_e = \frac{r}{\delta_R}(\frac{\Lambda}{\delta_1 + r} - \frac{\delta_S}{\beta})$$
+    \item 
+\end{itemize}
 
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
@@ -204,6 +265,11 @@ Jannis Portmann, FS21
     \item Skript zur Vorlesung
 \end{enumerate}
 
+\section*{Bildquellen}
+\begin{itemize}
+  \item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg}
+\end{itemize}
+
 \end{multicols*}
 
 \end{document}