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Mathematik-V-ZF.tex

@@ -296,6 +296,49 @@ $$\omega^2 - ik\omega - N^2 = 0$$
 also $\omega_{1,2} = \frac{1}{2}(ik \pm \sqrt{4N^2 - k^2})$ und somit
 $$\Delta z(t) = A \exp(-\frac{1}{2}kt)\exp(\frac{1}{2}i\sqrt{4N^2 - k^2}t)$$
 
+\section{Wellengleichung}
+\subsection{1D-Welle}
+Für die Amplitude $\psi$
+$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \Delta \psi$$
+wobei $\Delta$ der Laplace-Operator ist. Somit im 1D-Fall
+$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$
+Eine Lösung davon
+$$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$
+wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\
+\vspace{5px}
+Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\
+\subsubsection{Kennzahlen}
+Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\
+Wellenlänge $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ \\
+Periode $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$
+
+\subsubsection{Wellenüberlagerung}
+Für die Gruppengeschwindigkeit zweier überlagerter Wellen mit $k_1 \neq k_2$ und $\omega_1 \neq \omega_2$ gilt
+$$v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$
+Dispersion tritt auf, falls $v_g \neq v_p$ (in der Praxis meist der Fall)
+
+\subsection{2D-Welle}
+Für eine Linie konstanter Phase
+$$kx + ly - \omega t = \mathrm{const.}$$
+Die Ausbreitung verläuft senkrecht auf diese Linien, was entlang dem Wellenvektor $\vec{h}$ entspricht. \\
+
+\subsubsection{Kennzahlen}
+Für die Wellenlängen gilt
+$$\lambda_x = 2\pi / k, \; \lambda_y = 2\pi / l$$
+bzw. die Wellenlänge entlang der Ausbreitung
+$$\lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$
+Der Wellenvektor ist
+$$\vec{h} = (k,l)$$
+Die Phasengeschwindigkeit
+$$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$
+
+\subsection{Komplexer Wellenansatz}
+\begin{itemize}
+    \item 1D: $A e^{i(kx - \omega t)}$
+    \item 2D: $A e^{i(kx + ly - \omega t)}$
+    \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$
+\end{itemize}
+
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
 $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$
@@ -312,6 +355,8 @@ $$\nabla = \begin{pmatrix}
     \frac{\partial}{\partial z}
 \end{pmatrix}$$
 
+$$\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}$$
+
 \scriptsize
 
 \section{Copyleft}