diff --git a/Mathematik-V-ZF.tex b/Mathematik-V-ZF.tex index 3fd0ea3..21de5e0 100644 --- a/Mathematik-V-ZF.tex +++ b/Mathematik-V-ZF.tex @@ -296,6 +296,49 @@ $$\omega^2 - ik\omega - N^2 = 0$$ also $\omega_{1,2} = \frac{1}{2}(ik \pm \sqrt{4N^2 - k^2})$ und somit $$\Delta z(t) = A \exp(-\frac{1}{2}kt)\exp(\frac{1}{2}i\sqrt{4N^2 - k^2}t)$$ +\section{Wellengleichung} +\subsection{1D-Welle} +Für die Amplitude $\psi$ +$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \Delta \psi$$ +wobei $\Delta$ der Laplace-Operator ist. Somit im 1D-Fall +$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$ +Eine Lösung davon +$$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$ +wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\ +\vspace{5px} +Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\ +\subsubsection{Kennzahlen} +Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\ +Wellenlänge $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ \\ +Periode $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$ + +\subsubsection{Wellenüberlagerung} +Für die Gruppengeschwindigkeit zweier überlagerter Wellen mit $k_1 \neq k_2$ und $\omega_1 \neq \omega_2$ gilt +$$v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$ +Dispersion tritt auf, falls $v_g \neq v_p$ (in der Praxis meist der Fall) + +\subsection{2D-Welle} +Für eine Linie konstanter Phase +$$kx + ly - \omega t = \mathrm{const.}$$ +Die Ausbreitung verläuft senkrecht auf diese Linien, was entlang dem Wellenvektor $\vec{h}$ entspricht. \\ + +\subsubsection{Kennzahlen} +Für die Wellenlängen gilt +$$\lambda_x = 2\pi / k, \; \lambda_y = 2\pi / l$$ +bzw. die Wellenlänge entlang der Ausbreitung +$$\lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$ +Der Wellenvektor ist +$$\vec{h} = (k,l)$$ +Die Phasengeschwindigkeit +$$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$ + +\subsection{Komplexer Wellenansatz} +\begin{itemize} + \item 1D: $A e^{i(kx - \omega t)}$ + \item 2D: $A e^{i(kx + ly - \omega t)}$ + \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$ +\end{itemize} + \section{Taylor-Reihe} An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$ @@ -312,6 +355,8 @@ $$\nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}$$ +$$\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}$$ + \scriptsize \section{Copyleft}