Add Transportgleichung

Mathematik-V-ZF.tex

@@ -164,7 +164,7 @@ Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$
 $$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA  = \oint_C \, v \, ds$$
 Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation)
 
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 \textbf{Bsp} \\
 Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
@@ -181,7 +181,7 @@ Wir verwenden meistens geographische Koordinaten.
     \label{fig:geo-coordinates}
   \end{figure}
 
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 Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit:
 $$dx = h_1 \, da$$
@@ -206,8 +206,7 @@ $$J = \left( \begin{array}{ccc}
 \end{array} \right)$$
 
 Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\
-
+\vspace{5pt}
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 \begin{itemize}
     \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\
     \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\
@@ -279,7 +278,7 @@ Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$
 $$\underbrace{\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2}}_\text{Beschleunigung Luftpaket} + \underbrace{N^2 \Delta z}_\text{rücktreibende Kraft} = 0$$
 
 wobei $N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}$ die Brunt-Väisälla-Frequenz
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+\vspace{10pt} \\
 Mögliche Lösungen davon
 $$\Delta z(t) = A \sin (Nt)$$
 $$\Delta z(t) = B \cos (Nt)$$
@@ -305,7 +304,7 @@ $$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$
 Eine Lösung davon
 $$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$
 wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\
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+\vspace{5pt}
 Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\
 \subsubsection{Kennzahlen}
 Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\
@@ -339,6 +338,33 @@ $$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$
     \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$
 \end{itemize}
 
+\section{Transportgleichung}
+Sei $\phi(x,y,z,t)$ ein physikalisches Feld mit Punkten $P(x,y,z)$ über die Zeit.
+
+\subsection{Euler'sche Perspektive}
+Beobachtung am Punkt $P(x_0,y_0,z_0)$ wird gemessen:
+$$\phi^E(t) = \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$
+Die zeitliche Änderung
+$$\dot{\phi}^E(t) = \frac{\partial}{\partial t} \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$
+
+\subsection{Lagrange'sche Perspektive}
+Messung wird "mitgetragen", entlang einer Trajektorie $\vec{x}(t)$
+$$\phi^L(t) = \phi(x(t),y(t),z(t),t)$$
+Die zeitliche Änderung (materielle Ableitung)
+$$\dot{\phi}^L(t) = \frac{D}{D t} \phi = \frac{d}{dt} \phi \bigg( x(t),y(t),z(t),t \bigg) = \frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u} \cdot \nabla\phi$$
+Wobei $\vec{u}$ z.B. die Strömungsgeschwindigkeit ist
+
+\subsection{Beliebiger Pfad}
+Als Beispiel bewegen wir uns in einem Flugzeug mit der Geschwindigkeit $\vec{v_F}$, dann gilt für die Veränderung
+$$\frac{\partial \phi}{\partial t}\bigg|_F = \frac{D \phi}{D t} + (\vec{v_F} - \vec{u}) \cdot \nabla \phi$$
+
+\subsection{Quellen und Senken}
+Langrange'sche Perspektive
+$$\frac{D \phi}{D t} = s$$
+Analog für Euler
+$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$
+Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$!
+
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
 $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$