From 7f32f8e37ea66e62a8352da24e73f56060131b6c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: jannisp Date: Thu, 29 Jul 2021 09:43:06 +0200 Subject: [PATCH] Add Transportgleichung --- Mathematik-V-ZF.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 33 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/Mathematik-V-ZF.tex b/Mathematik-V-ZF.tex index 21de5e0..b3875dd 100644 --- a/Mathematik-V-ZF.tex +++ b/Mathematik-V-ZF.tex @@ -164,7 +164,7 @@ Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$ $$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA = \oint_C \, v \, ds$$ Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation) -\vspace{5px} +\vspace{5pt} \textbf{Bsp} \\ Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\ @@ -180,8 +180,8 @@ Wir verwenden meistens geographische Koordinaten. \caption{Geographisches Koorinatensystem} \label{fig:geo-coordinates} \end{figure} - -\vspace{5px} + + \vspace{5pt} Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit: $$dx = h_1 \, da$$ @@ -206,8 +206,7 @@ $$J = \left( \begin{array}{ccc} \end{array} \right)$$ Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\ - -\vspace{5px} +\vspace{5pt} \begin{itemize} \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\ \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\ @@ -279,7 +278,7 @@ Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$ $$\underbrace{\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2}}_\text{Beschleunigung Luftpaket} + \underbrace{N^2 \Delta z}_\text{rücktreibende Kraft} = 0$$ wobei $N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}$ die Brunt-Väisälla-Frequenz -\vspace{10px} \\ +\vspace{10pt} \\ Mögliche Lösungen davon $$\Delta z(t) = A \sin (Nt)$$ $$\Delta z(t) = B \cos (Nt)$$ @@ -305,7 +304,7 @@ $$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$ Eine Lösung davon $$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$ wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\ -\vspace{5px} +\vspace{5pt} Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\ \subsubsection{Kennzahlen} Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\ @@ -339,6 +338,33 @@ $$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$ \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$ \end{itemize} +\section{Transportgleichung} +Sei $\phi(x,y,z,t)$ ein physikalisches Feld mit Punkten $P(x,y,z)$ über die Zeit. + +\subsection{Euler'sche Perspektive} +Beobachtung am Punkt $P(x_0,y_0,z_0)$ wird gemessen: +$$\phi^E(t) = \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$ +Die zeitliche Änderung +$$\dot{\phi}^E(t) = \frac{\partial}{\partial t} \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$ + +\subsection{Lagrange'sche Perspektive} +Messung wird "mitgetragen", entlang einer Trajektorie $\vec{x}(t)$ +$$\phi^L(t) = \phi(x(t),y(t),z(t),t)$$ +Die zeitliche Änderung (materielle Ableitung) +$$\dot{\phi}^L(t) = \frac{D}{D t} \phi = \frac{d}{dt} \phi \bigg( x(t),y(t),z(t),t \bigg) = \frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u} \cdot \nabla\phi$$ +Wobei $\vec{u}$ z.B. die Strömungsgeschwindigkeit ist + +\subsection{Beliebiger Pfad} +Als Beispiel bewegen wir uns in einem Flugzeug mit der Geschwindigkeit $\vec{v_F}$, dann gilt für die Veränderung +$$\frac{\partial \phi}{\partial t}\bigg|_F = \frac{D \phi}{D t} + (\vec{v_F} - \vec{u}) \cdot \nabla \phi$$ + +\subsection{Quellen und Senken} +Langrange'sche Perspektive +$$\frac{D \phi}{D t} = s$$ +Analog für Euler +$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$ +Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$! + \section{Taylor-Reihe} An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$