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Jannis Portmann 2021-07-31 12:24:02 +02:00
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@ -365,6 +365,37 @@ Analog für Euler
$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$ $$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$
Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$! Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$!
\section{Folgen und Reihen}
Folge: $\{a_n\} = a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1},...$ \\
Reihe: $\{s_n\} = s_1,s_2,...,s_n,s_{n+1},...$, wobei
$$s_n = \sum_{k=1}^{k=n}a_k$$
\subsection{Bildungsgesetze}
\textbf{Explizit}
$a_n$ kann direkt berechnet werden, z.B. $a_n = n$
\textbf{Rekursiv}
$a_n$ wird als Funktion von $a_{n-1}$ angegeben, z.B. $a_n = a_{n-1} + 1$
\subsection{Arithmetische Folge}
\subsection{Geometrische Folge}
Verhältnis von zwei aufeinander folgenden Gliedern ist konstant
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q , \, a_n = a_1 q^{n-1}$$
Daraus folgt die \textbf{geometrische Reihe}
$$s_n = \sum_{k=1}^{k=n}a_1 q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$$
für $|q| < 1$
$$\lim_{n\rightarrow\infty} s_n = a_1 \frac{1}{1-q}$$
\subsection{Fraktale Geometrie}
\begin{itemize}
\item $R$ = Anzahl Teillängen
\item $P$ = Löcher/Poren
\item $F$ = Anzahl Felder (1D: $R$, 2D: $R^2$, 3D: $R^3$) - P
\end{itemize}
\section{Taylor-Reihe} \section{Taylor-Reihe}
An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
$$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$