From 48977ffa47efff4c4083e5e10141e837a084844a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jannis Portmann Date: Sat, 31 Jul 2021 12:24:02 +0200 Subject: [PATCH] Start Folgen und Reihen chapter --- Mathematik-V-ZF.tex | 31 +++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 31 insertions(+) diff --git a/Mathematik-V-ZF.tex b/Mathematik-V-ZF.tex index b3875dd..6df9e89 100644 --- a/Mathematik-V-ZF.tex +++ b/Mathematik-V-ZF.tex @@ -365,6 +365,37 @@ Analog für Euler $$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$ Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$! +\section{Folgen und Reihen} +Folge: $\{a_n\} = a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1},...$ \\ +Reihe: $\{s_n\} = s_1,s_2,...,s_n,s_{n+1},...$, wobei +$$s_n = \sum_{k=1}^{k=n}a_k$$ + +\subsection{Bildungsgesetze} +\textbf{Explizit} +$a_n$ kann direkt berechnet werden, z.B. $a_n = n$ + +\textbf{Rekursiv} +$a_n$ wird als Funktion von $a_{n-1}$ angegeben, z.B. $a_n = a_{n-1} + 1$ + +\subsection{Arithmetische Folge} + +\subsection{Geometrische Folge} +Verhältnis von zwei aufeinander folgenden Gliedern ist konstant +$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q , \, a_n = a_1 q^{n-1}$$ +Daraus folgt die \textbf{geometrische Reihe} +$$s_n = \sum_{k=1}^{k=n}a_1 q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$$ +für $|q| < 1$ +$$\lim_{n\rightarrow\infty} s_n = a_1 \frac{1}{1-q}$$ + +\subsection{Fraktale Geometrie} +\begin{itemize} + \item $R$ = Anzahl Teillängen + \item $P$ = Löcher/Poren + \item $F$ = Anzahl Felder (1D: $R$, 2D: $R^2$, 3D: $R^3$) - P +\end{itemize} + + + \section{Taylor-Reihe} An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$