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Jannis Portmann 2020-01-28 21:28:54 +01:00
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@ -374,13 +374,14 @@ $P(X \geq c)$ für verschiedene $c$
\end{tabular} \end{tabular}
\end{center} \end{center}
oft ist $H_0: \pi = 1/2$ (= reiner Zufall). Man testet also gegen Zufall. oft ist $H_0: \pi = 1/2$ (= reiner Zufall). Man testet also gegen Zufall.
\item Teststatistik $T$ (Anzahl treffer bei $n$ Versuchen), Verteilung unter $H_0: T \sim \mathrm{Bin}(n,\pi_0)^3$ \item Teststatistik $T$ (Anzahl treffer bei $n$ Versuchen), Verteilung unter $H_0: T \sim \mathrm{Bin}(n,\pi_0)$
\item Festlegen von Signifikanzniveau $\alpha$ (meist $\alpha = 0.05$ oder $\alpha = 0.01$) \item Festlegen von Signifikanzniveau $\alpha$ (meist $\alpha = 0.05$ oder $\alpha = 0.01$)
\item Bestimmung Verwerfungsbereich \item Bestimmung Verwerfungsbereich
$$K = \begin{cases} $$K = \begin{cases}
[0,c_u] \cup [c_0,n] & H_A: \pi \neq \pi_0 \\ [c,n] & H_A: \pi > \pi_0 \\ [0,c] & H_A: \pi < \pi_0 [0,c_u] \cup [c_0,n] & H_A: \pi \neq \pi_0 \\ [c,n] & H_A: \pi > \pi_0 \\ [0,c] & H_A: \pi < \pi_0
\end{cases}$$ \end{cases}$$
Wobei $c$ der Wert ist bei dem $P(X \leq c) = \alpha$ Wobei $c$ der Wert ist bei dem noch $P(X \leq c) \leq \alpha$ für $H_A: \pi < \pi_0$),\\
analog $P(X \geq c) \leq \alpha$ für $H_A: \pi > \pi_0$
\item Testentscheid: Ist $t \in K$? Falls ja wird $H_0$ verworfen, falls nicht wird sie als korrekt angenommen\footnote{Achtung: Das heisst nicht, dass $H_0$ gültig ist! (Falsifizierbarkeit)} \item Testentscheid: Ist $t \in K$? Falls ja wird $H_0$ verworfen, falls nicht wird sie als korrekt angenommen\footnote{Achtung: Das heisst nicht, dass $H_0$ gültig ist! (Falsifizierbarkeit)}
\end{enumerate} \end{enumerate}
@ -392,13 +393,13 @@ Also berechne mit Tabelle (schaue wo $P(X=x) \leq \alpha$ für verschiedene $x$
\subsubsection{Normalapproximation der Binomialverteilung} \subsubsection{Normalapproximation der Binomialverteilung}
Für eine Verteilung $X \sim \mathrm{Binom}(n,\pi)$ und $\alpha = 0.05$ gilt für einseitige Tests: Für eine Verteilung $X \sim \mathrm{Binom}(n,\pi)$ und $\alpha = 0.05$ gilt für einseitige Tests:
$$c \approx \begin{cases} $$c \approx \begin{cases}
n\pi_0+1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi > \pi_0 \mathrm{\; (abgerundet)} \\ n\pi_0+1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi > \pi_0 \mathrm{\; (aufgerundet)} \\
n\pi_0-1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi < \pi_0 \mathrm{\; (aufgerundet)} \\ n\pi_0-1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi < \pi_0 \mathrm{\; (abgerundet)} \\
\end{cases}$$ \end{cases}$$
Für einen zweiseitigen Test ($\pi \neq \pi_0$) gilt: Für einen zweiseitigen Test ($\pi \neq \pi_0$) gilt:
$$c_0 \approx n\pi_0+1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (abgerundet)}$$ $$c_0 \approx n\pi_0+1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (aufgerundet)}$$
$$c_u \approx n\pi_0-1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (aufgerundet)}$$ $$c_u \approx n\pi_0-1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (abgerundet)}$$
\subsubsection{Fehler 1. und 2. Art} \subsubsection{Fehler 1. und 2. Art}
\label{sec:fehler12} \label{sec:fehler12}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -415,13 +416,15 @@ $$\mathrm{Macht}:=1-P(\mathrm{Fehler \; 2. \; Art}) = P_{H_A} (X \in K) = P(X \g
Idee: Wie gross muss eine Stichprobe sein, damit mit einer bestimmten Macht $\beta=x$ eine Hypothese bewiesen werden kann auf Signifikanzniveau $\alpha$? Idee: Wie gross muss eine Stichprobe sein, damit mit einer bestimmten Macht $\beta=x$ eine Hypothese bewiesen werden kann auf Signifikanzniveau $\alpha$?
\subsubsection{P-Wert} \subsubsection{P-Wert}
Der P-Wert ist ein Wert zwischen 0 und 1, der angibt, wie gut Nullhypothese und Daten zusammenpassen. Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Beobachtung oder extremeres Ereigniss eintritt unter $H_0$
$$P_{H_0}(T \geq t)$$
Es ist auch das kleinste Signifikanzniveau $\alpha$, auf dem $H_0$ gerade noch verworfen wird. \\
Also falls $p$-Wert $> \alpha$ wird $H_0$ beibehalten.
\subsubsection{Vertrauensintervall (VI)} \subsubsection{Vertrauensintervall (VI)}
\label{sec:vertrauensintervall} \label{sec:vertrauensintervall}
$$I:=\{\pi_0;\; \mathrm{Nullhypothese} \; H_0:\pi = \pi_0 \mathrm{wird \; beibehalten}\}$$ $$I:=\{\pi_0;\; \mathrm{Nullhypothese} \; H_0:\pi = \pi_0 \mathrm{wird \; beibehalten}\}$$
Für grosse $n$ gilt Für grosse $n$ gilt
$$I \approx \frac{x}{n} \pm \sqrt{\frac{x}{n}(1-\frac{x}{n})\frac{1}{n}}$$ $$I \approx \frac{x}{n} \pm 1.96\sqrt{\frac{x}{n}(1-\frac{x}{n})\frac{1}{n}}$$
Die Werte von $\pi_0$ bei denen $H_0: \pi = \pi_0$ nicht verworfen wird, ist ein $(1-\alpha)$-VI. Die Werte von $\pi_0$ bei denen $H_0: \pi = \pi_0$ nicht verworfen wird, ist ein $(1-\alpha)$-VI.
$$P_\pi(\pi \in I(X) \gtrapprox 1-\alpha)$$ $$P_\pi(\pi \in I(X) \gtrapprox 1-\alpha)$$
Ein $(1-\alpha)$-VI, enthält den wahren Parameter $\pi$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $(1-\alpha)$ \\ Ein $(1-\alpha)$-VI, enthält den wahren Parameter $\pi$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $(1-\alpha)$ \\
@ -675,7 +678,21 @@ Die Unabhängigkeit führt dazu, dass die Genauigkeit des arithmetischen Mittels
\subsection{Statisitk für eine Stichprobe} \subsection{Statisitk für eine Stichprobe}
% Wasn't able to fit it into the third-columns % Wasn't able to fit it into the third-columns
Siehe \textit{Abb. \ref{fig:tests}} im \hyperref[sec:anhang]{Anhang}. \begin{figure}[H]
\begin{tabular}{l|lccc|c}
\hline
\multirow{2}{*}{} & \multicolumn{4}{c|}{Annahmen} & \multirow{2}{*}{Macht} \\
& \multicolumn{1}{c}{\begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$\sigma_X$ \\ bekannt \end{tabular}} & $X_i \sim \mathcal{N}$ & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}sym. \\ Verteilung \end{tabular} & i.i.d. & \\
\hline\hline
z-Test & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$ } & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $****$ \\
t-Test & & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $***$ \\
Wilcoxon & & \multicolumn{1}{l}{} & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $**$ \\
Vorzeichen & & \multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{1}{l}{} & $\sbullet$ & $*$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Übersicht der verschiedenen Tests für $\mu$}
\label{tab:tests}
\end{figure}
\subsubsection{Punktschätzung} \subsubsection{Punktschätzung}
Betrachtung von Daten $x_1, x_2, ...,x_n$ als Realisierungen von $X_1, X_2, ..., X_n$ i.i.d. \\ Betrachtung von Daten $x_1, x_2, ...,x_n$ als Realisierungen von $X_1, X_2, ..., X_n$ i.i.d. \\
@ -810,7 +827,9 @@ Ligt vor falls:
Die Daten entsprechen Die Daten entsprechen
$$x_1,...x_n \mathrm{unter \; Versuchsbedingung \; 1}$$ $$x_1,...x_n \mathrm{unter \; Versuchsbedingung \; 1}$$
$$y_1,...y_n \mathrm{unter \; Versuchsbedingung \; 2}$$ $$y_1,...y_n \mathrm{unter \; Versuchsbedingung \; 2}$$
wobei dasselbe $n$ für beide nötig ist. wobei dasselbe $n$ für beide nötig ist. \\
\textbf{Gepoolte Varianz}
$$S_\mathrm{pool}=\sqrt{\frac{\hat{\sigma}_X^2+\hat{\sigma}_Y^2}{2}}$$
\subsubsection{t-Test für gepaarte Stichproben} \subsubsection{t-Test für gepaarte Stichproben}
$$d_i = x_i - y_i, i \in \mathbb{N} \leq n$$ $$d_i = x_i - y_i, i \in \mathbb{N} \leq n$$
@ -1111,14 +1130,6 @@ Hier können einzelne Variablen signifikant sein und andere nicht. Bei starker K
Es gilt wie in \ref{sec:r2} Es gilt wie in \ref{sec:r2}
$$R^2 = \hat{\rho}_{Y\hat{Y}}^2$$ $$R^2 = \hat{\rho}_{Y\hat{Y}}^2$$
\begin{center}
\rule{.5\linewidth}{0.25pt}
\end{center}
\begin{center}
\rule{\linewidth}{0.25pt}
\end{center}
\scriptsize \scriptsize
\end{multicols*} \end{multicols*}
@ -1387,21 +1398,6 @@ fit <- lm(y ~ x1 + x2)
\section{Anhang} \section{Anhang}
\label{sec:anhang} \label{sec:anhang}
\begin{figure}[H]
\begin{tabular}{l|llll|c|c}
\hline
\multirow{2}{*}{} & \multicolumn{4}{c}{Annahmen} & \multicolumn{1}{|c}{\multirow{2}{*}{\begin{tabular}{l}$n_\mathrm{min}$ bei \\ $\alpha = 0.05$\end{tabular}}} & \multicolumn{1}{|c}{\multirow{2}{*}{\begin{tabular}{c}Macht \\ für Bsp.\end{tabular}}} \\
& \multicolumn{1}{c}{\begin{tabular}{c}$\sigma_X$ \\ bekannt\end{tabular}} & \multicolumn{1}{c}{$X_i \sim \mathcal{N}$} & \multicolumn{1}{c}{\begin{tabular}{c}sym. \\ Verteilung\end{tabular}} & \multicolumn{1}{c}{i.i.d.} & \multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c}{} \\
\hline\hline
z-Test & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 1 & $****$ \\
t-Test & & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 2 & $***$ \\
Wilcoxon & & & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 6 & $**$ \\
Vorzeichen & & & & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 5 & $*$ \\
\hline
\end{tabular}
\caption{Übersicht der verschiedenen Tests für $\mu$}
\label{fig:tests}
\end{figure}
\section*{Referenzen} \section*{Referenzen}
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -1421,6 +1417,7 @@ fit <- lm(y ~ x1 + x2)
\end{itemize} \end{itemize}
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Dieses Dokument ist unter (CC BY-SA 4.0) freigegeben \\
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