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@ -374,13 +374,14 @@ $P(X \geq c)$ für verschiedene $c$
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\end{tabular}
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\end{center}
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oft ist $H_0: \pi = 1/2$ (= reiner Zufall). Man testet also gegen Zufall.
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\item Teststatistik $T$ (Anzahl treffer bei $n$ Versuchen), Verteilung unter $H_0: T \sim \mathrm{Bin}(n,\pi_0)^3$
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\item Teststatistik $T$ (Anzahl treffer bei $n$ Versuchen), Verteilung unter $H_0: T \sim \mathrm{Bin}(n,\pi_0)$
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\item Festlegen von Signifikanzniveau $\alpha$ (meist $\alpha = 0.05$ oder $\alpha = 0.01$)
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\item Bestimmung Verwerfungsbereich
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$$K = \begin{cases}
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[0,c_u] \cup [c_0,n] & H_A: \pi \neq \pi_0 \\ [c,n] & H_A: \pi > \pi_0 \\ [0,c] & H_A: \pi < \pi_0
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\end{cases}$$
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Wobei $c$ der Wert ist bei dem $P(X \leq c) = \alpha$
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Wobei $c$ der Wert ist bei dem noch $P(X \leq c) \leq \alpha$ für $H_A: \pi < \pi_0$),\\
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analog $P(X \geq c) \leq \alpha$ für $H_A: \pi > \pi_0$
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\item Testentscheid: Ist $t \in K$? Falls ja wird $H_0$ verworfen, falls nicht wird sie als korrekt angenommen\footnote{Achtung: Das heisst nicht, dass $H_0$ gültig ist! (Falsifizierbarkeit)}
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\end{enumerate}
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@ -392,13 +393,13 @@ Also berechne mit Tabelle (schaue wo $P(X=x) \leq \alpha$ für verschiedene $x$
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\subsubsection{Normalapproximation der Binomialverteilung}
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Für eine Verteilung $X \sim \mathrm{Binom}(n,\pi)$ und $\alpha = 0.05$ gilt für einseitige Tests:
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$$c \approx \begin{cases}
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n\pi_0+1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi > \pi_0 \mathrm{\; (abgerundet)} \\
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n\pi_0-1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi < \pi_0 \mathrm{\; (aufgerundet)} \\
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n\pi_0+1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi > \pi_0 \mathrm{\; (aufgerundet)} \\
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n\pi_0-1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi < \pi_0 \mathrm{\; (abgerundet)} \\
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\end{cases}$$
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Für einen zweiseitigen Test ($\pi \neq \pi_0$) gilt:
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$$c_0 \approx n\pi_0+1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (abgerundet)}$$
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$$c_u \approx n\pi_0-1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (aufgerundet)}$$
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$$c_0 \approx n\pi_0+1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (aufgerundet)}$$
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$$c_u \approx n\pi_0-1.96\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; (abgerundet)}$$
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\subsubsection{Fehler 1. und 2. Art}
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\label{sec:fehler12}
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\begin{enumerate}
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@ -415,13 +416,15 @@ $$\mathrm{Macht}:=1-P(\mathrm{Fehler \; 2. \; Art}) = P_{H_A} (X \in K) = P(X \g
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Idee: Wie gross muss eine Stichprobe sein, damit mit einer bestimmten Macht $\beta=x$ eine Hypothese bewiesen werden kann auf Signifikanzniveau $\alpha$?
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\subsubsection{P-Wert}
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Der P-Wert ist ein Wert zwischen 0 und 1, der angibt, wie gut Nullhypothese und Daten zusammenpassen.
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Gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Beobachtung oder extremeres Ereigniss eintritt unter $H_0$
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$$P_{H_0}(T \geq t)$$
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Es ist auch das kleinste Signifikanzniveau $\alpha$, auf dem $H_0$ gerade noch verworfen wird. \\
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Also falls $p$-Wert $> \alpha$ wird $H_0$ beibehalten.
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\subsubsection{Vertrauensintervall (VI)}
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\label{sec:vertrauensintervall}
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$$I:=\{\pi_0;\; \mathrm{Nullhypothese} \; H_0:\pi = \pi_0 \mathrm{wird \; beibehalten}\}$$
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Für grosse $n$ gilt
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$$I \approx \frac{x}{n} \pm \sqrt{\frac{x}{n}(1-\frac{x}{n})\frac{1}{n}}$$
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$$I \approx \frac{x}{n} \pm 1.96\sqrt{\frac{x}{n}(1-\frac{x}{n})\frac{1}{n}}$$
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Die Werte von $\pi_0$ bei denen $H_0: \pi = \pi_0$ nicht verworfen wird, ist ein $(1-\alpha)$-VI.
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$$P_\pi(\pi \in I(X) \gtrapprox 1-\alpha)$$
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Ein $(1-\alpha)$-VI, enthält den wahren Parameter $\pi$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $(1-\alpha)$ \\
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@ -675,7 +678,21 @@ Die Unabhängigkeit führt dazu, dass die Genauigkeit des arithmetischen Mittels
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\subsection{Statisitk für eine Stichprobe}
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% Wasn't able to fit it into the third-columns
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Siehe \textit{Abb. \ref{fig:tests}} im \hyperref[sec:anhang]{Anhang}.
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\begin{figure}[H]
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\begin{tabular}{l|lccc|c}
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\hline
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\multirow{2}{*}{} & \multicolumn{4}{c|}{Annahmen} & \multirow{2}{*}{Macht} \\
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& \multicolumn{1}{c}{\begin{tabular}[c]{@{}c@{}}$\sigma_X$ \\ bekannt \end{tabular}} & $X_i \sim \mathcal{N}$ & \begin{tabular}[c]{@{}c@{}}sym. \\ Verteilung \end{tabular} & i.i.d. & \\
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\hline\hline
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z-Test & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$ } & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $****$ \\
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t-Test & & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $***$ \\
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Wilcoxon & & \multicolumn{1}{l}{} & $\sbullet$ & $\sbullet$ & $**$ \\
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Vorzeichen & & \multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{1}{l}{} & $\sbullet$ & $*$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\caption{Übersicht der verschiedenen Tests für $\mu$}
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\label{tab:tests}
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\end{figure}
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\subsubsection{Punktschätzung}
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Betrachtung von Daten $x_1, x_2, ...,x_n$ als Realisierungen von $X_1, X_2, ..., X_n$ i.i.d. \\
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@ -810,7 +827,9 @@ Ligt vor falls:
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Die Daten entsprechen
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$$x_1,...x_n \mathrm{unter \; Versuchsbedingung \; 1}$$
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$$y_1,...y_n \mathrm{unter \; Versuchsbedingung \; 2}$$
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wobei dasselbe $n$ für beide nötig ist.
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wobei dasselbe $n$ für beide nötig ist. \\
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\textbf{Gepoolte Varianz}
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$$S_\mathrm{pool}=\sqrt{\frac{\hat{\sigma}_X^2+\hat{\sigma}_Y^2}{2}}$$
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\subsubsection{t-Test für gepaarte Stichproben}
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$$d_i = x_i - y_i, i \in \mathbb{N} \leq n$$
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@ -1111,14 +1130,6 @@ Hier können einzelne Variablen signifikant sein und andere nicht. Bei starker K
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Es gilt wie in \ref{sec:r2}
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$$R^2 = \hat{\rho}_{Y\hat{Y}}^2$$
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\begin{center}
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\rule{.5\linewidth}{0.25pt}
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\end{center}
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\begin{center}
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\rule{\linewidth}{0.25pt}
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\end{center}
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\scriptsize
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\end{multicols*}
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@ -1387,21 +1398,6 @@ fit <- lm(y ~ x1 + x2)
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\section{Anhang}
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\label{sec:anhang}
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\begin{figure}[H]
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\begin{tabular}{l|llll|c|c}
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\hline
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\multirow{2}{*}{} & \multicolumn{4}{c}{Annahmen} & \multicolumn{1}{|c}{\multirow{2}{*}{\begin{tabular}{l}$n_\mathrm{min}$ bei \\ $\alpha = 0.05$\end{tabular}}} & \multicolumn{1}{|c}{\multirow{2}{*}{\begin{tabular}{c}Macht \\ für Bsp.\end{tabular}}} \\
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& \multicolumn{1}{c}{\begin{tabular}{c}$\sigma_X$ \\ bekannt\end{tabular}} & \multicolumn{1}{c}{$X_i \sim \mathcal{N}$} & \multicolumn{1}{c}{\begin{tabular}{c}sym. \\ Verteilung\end{tabular}} & \multicolumn{1}{c}{i.i.d.} & \multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c}{} \\
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\hline\hline
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z-Test & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 1 & $****$ \\
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t-Test & & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 2 & $***$ \\
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Wilcoxon & & & \multicolumn{1}{c}{$\sbullet$} & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 6 & $**$ \\
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Vorzeichen & & & & \multicolumn{1}{c|}{$\sbullet$} & 5 & $*$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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||||
\caption{Übersicht der verschiedenen Tests für $\mu$}
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\label{fig:tests}
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\end{figure}
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\section*{Referenzen}
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\begin{enumerate}
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@ -1421,6 +1417,7 @@ fit <- lm(y ~ x1 + x2)
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\end{itemize}
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\doclicenseImage \\
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Dieses Dokument ist unter (CC BY-SA 4.0) freigegeben \\
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\faGlobe \kern 1em \url{https://n.ethz.ch/~jannisp} \\
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\faGit \kern 0.88em \url{https://git.thisfro.ch/thisfro/statistik-zf} \\
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Jannis Portmann, HS19
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