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@ -237,7 +237,7 @@ $$\sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$
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$$P(X = 1) = \pi, P(X = 0) = 1 - \pi, 0 \leq \pi \leq 1$$
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Beschreibt das eintreffen bzw. nicht-eintreffen eines bestimmten Ereignisses.
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\subsubsection{Binomialverteilung \footnote{Dabei ist $\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$}}
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\subsubsection{Binomialverteilung \footnote{Dabei ist $\binom{n}{x} = \frac{n!}{x!(n-x)!}$ (TR: nCr($n,x$))})}
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$$P(X = x) = \binom{n}{x} \pi^x(1 - \pi)^{n-x}, x \in \mathbb{N}_0$$
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Dabei ist $0 \leq \pi \leq 1$ der Erfolgsparameter der Verteilung. \\
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Notation: $X \sim \mathrm{Bin}(n,\pi)$ ($X$ folgt einer Binomialverteilung mit Parametern $n$ und $\pi$)
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@ -249,6 +249,9 @@ Zusammenhänge:
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\item $X_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,\pi); X_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,\pi)$ unabhängig $\Rightarrow P(X_1=x_1 \cap X_2=x_2) = P(X_1 = x_1) \cdot P(X_2 = x_2)$
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\end{itemize}
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\textbf{Beispiel} \\
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Urne mit Zurücklegen
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\subsubsection{Poisson-($\lambda$)-verteilung}
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$$P(X = x) = \mathrm{exp}(-\lambda)\frac{\lambda^x}{x!}, x \in \mathbb{N}_0$$
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Dabei sind $\mathbb{E}(X) = \lambda, \mathrm{Var}(X) = \lambda, \sigma(X) = \sqrt{\lambda}$ \\
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@ -282,7 +285,7 @@ Einfluss von entfernten Ereignissen auf Wahrscheinlichkeiten von neuen Ziehungen
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$$P(X = x)=\frac{\binom{m}{x}\binom{N-m}{n-x}}{\binom{N}{n}}$$
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$X \sim \mathrm{Hyper}(N,n,m)$, dabei $N$ die total möglichen Ereignisse, $m$ die "Gewinne" und es wird $n$ gezogen.
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$X \sim \mathrm{Hyper}(N,n,m)$, dabei $N$ die total möglichen Ereignisse, $m$ die Gewinne und es wird $n$ gezogen.
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\subsection{Kennwerte}
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\subsubsection{Bernoulli-Verteilung}
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@ -391,6 +394,7 @@ $$P(X \leq c) \leq \alpha$$
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Also berechne mit Tabelle (schaue wo $P(X=x) \leq \alpha$ für verschiedene $x$ (kumulativ)) oder R.
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\subsubsection{Normalapproximation der Binomialverteilung}
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Gilt, wenn $n\pi > 5$ und $n(1-\pi) > 5$ (Faustregel) \\
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Für eine Verteilung $X \sim \mathrm{Binom}(n,\pi)$ und $\alpha = 0.05$ gilt für einseitige Tests:
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$$c \approx \begin{cases}
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n\pi_0+1.64\sqrt{n\pi_0(1-\pi_0)} \mathrm{\; bei \;} H_0: \pi > \pi_0 \mathrm{\; (aufgerundet)} \\
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@ -472,7 +476,7 @@ Einteilung in Klassen, auftragen der Beobachtugen je Klasse in Balkendiagramm
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Rechteck, vom 75\%- und 25\%-Quantil begrenzt
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\begin{figure}[H]
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\centering
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\includegraphics[width=.2\textwidth]{boxplot.png}
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\includegraphics[width=.15\textwidth]{boxplot.png}
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\caption{Beispiel Boxplot (IQR = Interquartile-Range)}
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\label{fig:boxplot}
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\end{figure}
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@ -506,6 +510,8 @@ $$F(x) = P(X \leq x)$$
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\subsubsection{Wahrscheinlichkeits-Dichte}
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$$f(x) = \dot{F}(x) \Longleftrightarrow F(x) = \int_{-\infty}^xf(y)\mathrm{d}y$$
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$$f(x) \geq 0, \forall x$$
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\subsection{Kennzahlen von stetigen Verteilungen}
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\begin{center}
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\begin{tabular}{rl}
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@ -575,6 +581,10 @@ $$F(x) \Rightarrow \mathrm{Tabelle!}$$
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\end{tabular}
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\end{center}
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\textbf{Summe} \\
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Seien $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ i.i.d., $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ i.i.d. und $Y = X_1 + X_2$ dann ist
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$$Y \sim \mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$$
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\subsubsection{Standard-Normalverteilung}
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$X \sim \mathcal{N}(0,1), \mathbb{W}_X = \mathbb{R}, \mu = 0 \; \mathrm{und} \; \sigma = 1$
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$$\varphi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{exp}\bigg(-\frac{x^2}{2}\bigg)$$
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@ -596,7 +606,7 @@ dann sind
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\begin{tabular}{rl}
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$\mathbb{E}(Y) =$ & $a +b\mathbb{E}(X)$ \\
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Var$(Y) =$ & $b^2 \cdot \mathrm{Var}(X)$ \\
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$\sigma_Y =$ & $b \cdot \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ \\
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$\sigma_Y =$ & $|b| \cdot \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ \\
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$q_Y(\alpha) =$ & $a+b\cdot q_X(\alpha)$
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\end{tabular}
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\end{center}
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@ -637,7 +647,7 @@ $$Y = g(X_1, X_2, ... , X_n)$$
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Unabhängig heisst, dass es keine gemeinsamen Prozesse gibt, die den Ausgang beeinflussen. \\
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\textit{Notation}:
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$$X_1,X_2,...,X_n \; \mathrm{i.i.d}$$
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wobei \textit{i.i.d} für "independent, identically distributed" steht. \\
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wobei \textit{i.i.d} für \textit{independent, identically distributed} steht. \\
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Es gilt dann immer
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$$\mathbb{E}(X_1 + X_2) = \mathbb{E}(X_1) + \mathbb{E}(X_2)$$
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wenn $X_1,X_2$ unabhängig, auch
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@ -839,7 +849,7 @@ $d_i$ seinen Realisierungen von $D_1,...D_n$ i.i.d. Somit vereinfacht sich die B
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Falls eine Paarung wie in \ref{sec:paired} nicht möglich ist und die Daten
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$$X_1,...X_n \mathrm{i.i.d}$$
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$$Y_1,...Y_m \mathrm{i.i.d}$$
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entsprechen, wobei $m \neq n$ nicht zwingend notwendig ist. Entscheidend ist, dass $x_i$ und $yi$ zu verschiedenen Versuchseinheiten geören und als unabhängig angenommen werden können.
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entsprechen, wobei $m \neq n$ nicht zwingend notwendig ist. Entscheidend ist, dass $x_i$ und $yi$ zu verschiedenen Versuchseinheiten gehören und als unabhängig angenommen werden können.
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\subsubsection{t-Test für ungepaarte Stichproben}
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\begin{enumerate}
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@ -866,7 +876,7 @@ entsprechen, wobei $m \neq n$ nicht zwingend notwendig ist. Entscheidend ist, da
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\begin{center}
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\begin{tabular}{rl}
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$\displaystyle S_{pool}$ & $\displaystyle = \sqrt{\frac{1}{n+m-2}\bigg(\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X_n})^2+\sum_{i=1}^m(Y_i-\bar{Y_m})^2\bigg)}$ \\
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& $\displaystyle = \sqrt{\frac{1}{n+m-2}\bigg((n-1)\hat{\sigma_X}^2+(m-1)\hat{\sigma_Y}^2\bigg)}$
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& $\displaystyle = \sqrt{\frac{(n-1)\hat{\sigma_X}^2+(m-1)\hat{\sigma_Y}^2}{n+m-2}}$
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\end{tabular}
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\end{center}
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Verteilung der Teststatistik unter $H_0: T \sim t_{n+m-2}$
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@ -929,7 +939,7 @@ $$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^nR_i^2$$
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$$Y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + E_i$$ \\
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$$E_1, E_2, ..., E_n \; \mathrm{i.i.d.} \; \mathcal{N}(0, \sigma_X^2)$$
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\item \textbf{Nullhypothese}:
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$$H_0: \beta = 0$$
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$$H_0: \beta_1 = 0$$
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\textbf{Alternativhypothese}:
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$$H_A: \beta_1 \neq 0$$
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\item \textbf{Teststatistik}:
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@ -944,6 +954,9 @@ $$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^nR_i^2$$
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\end{enumerate}
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Analog funktioniert auch ein \textit{t-Test} für $H_0: \beta_0 = 0, H_A: \beta_0 \neq 0$
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\subsubsection{t-Wert}
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$$\frac{\hat{\beta_i}}{s(\hat{\beta_i})}$$
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\subsubsection{P-Wert}
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Vgl. dazu \ref{sec:pval}, jedoch anstatt $n-1$ sind es hier $n-2$ Freiheitsgrade. Der P-Wert der Regression wird meist nicht von Hand berechnet (vgl. \ref{sec:rreg}).
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@ -1317,7 +1330,7 @@ $$R^2 = \hat{\rho}_{Y\hat{Y}}^2$$
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Eigentliche Regression:
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\begin{lstlisting}
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## Um das lineare Regressionsmodell Y_i = beta_0 + beta_1 x_i + E_i zu fitten, benutzt man
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fit <- lm(y ~ x)
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fit <- lm(y ~ x) #("y gegen x")
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## Man kann Achsenabschnitt und Steigung sehen, wenn man sich das Objekt 'fit' anschaut:
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fit
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