Expand SIR further

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Jannis Portmann 2021-07-24 12:31:26 +02:00
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@ -138,7 +138,7 @@
\begin{center} \begin{center}
\Large{ZF Mathematik V} \\ \Large{ZF Mathematik V} \\
\small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\ \small{701-0106-00L Mathematik V} \\
\small{Jannis Portmann \the\year} \\ \small{Jannis Portmann \the\year} \\
{\ccbysa} {\ccbysa}
\rule{\linewidth}{0.25pt} \rule{\linewidth}{0.25pt}
@ -222,9 +222,10 @@ Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathb
SIR: Susceptible-Infected-Recovered \\ SIR: Susceptible-Infected-Recovered \\
\subsubsection{Single-Strain SIR}
\begin{figure}[H] \begin{figure}[H]
\centering \centering
\includegraphics[width=.3\textwidth]{SIR.png} \includegraphics[width=.25\textwidth]{SIR.png}
\caption{SIR-Modell} \caption{SIR-Modell}
\label{fig:sir} \label{fig:sir}
\end{figure} \end{figure}
@ -245,9 +246,34 @@ $\beta S I$: Mass-action Infektionsrate \\
$$S_f = \Lambda / \delta_S, I_f=0, R_f=0$$ $$S_f = \Lambda / \delta_S, I_f=0, R_f=0$$
\item Endemic equilibrium: \item Endemic equilibrium:
$$S = \frac{\delta_1 + r}{\beta} , I_e=\frac{\Lambda}{\delta_1} - \frac{\delta_S}{\beta}, R_e = \frac{r}{\delta_R}(\frac{\Lambda}{\delta_1 + r} - \frac{\delta_S}{\beta})$$ $$S = \frac{\delta_1 + r}{\beta} , I_e=\frac{\Lambda}{\delta_1} - \frac{\delta_S}{\beta}, R_e = \frac{r}{\delta_R}(\frac{\Lambda}{\delta_1 + r} - \frac{\delta_S}{\beta})$$
\item
\end{itemize} \end{itemize}
Für das Disease-free equilibrium ergeben sich die Eigenwerte aus
$$(-\delta_S - \lambda)(\frac{\beta \Lambda}{\delta_S} - \delta_I - r - \lambda)(- \delta R - \lambda) = 0$$
also
\begin{itemize}
\item $\lambda_1 = -\delta_S$
\item $\lambda_2 = -\delta_R$
\item $\lambda_3 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S} - \delta_I - r$
\end{itemize}
\subsubsection*{Reproduktionszahl $R_0$}
$$R_0 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S(\delta_I + r)} = \frac{\beta S_f}{\delta_I + r}$$
\begin{itemize}
\item $R_0 > 1$: Ausbreitung
\item $R_0 < 1$: Aussterben
\end{itemize}
\subsubsection{Multi-Strain SIR}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=.25\textwidth]{SIR-2.png}
\caption{SIR-Modell mit zwei verschiedenen Erregern}
\label{fig:sir-2}
\end{figure}
Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$
\section{Taylor-Reihe} \section{Taylor-Reihe}
An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
$$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$
@ -282,7 +308,7 @@ Jannis Portmann, FS21
\section*{Bildquellen} \section*{Bildquellen}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg} \item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg}
\item Abb. \ref{fig:sir}: Vorlesungsunterlagen \item Abb. \ref{fig:sir}, \ref{fig:sir-2}: Vorlesungsunterlagen
\end{itemize} \end{itemize}
\end{multicols*} \end{multicols*}

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