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% To make this come out properly in landscape mode, do one of the following
% 1.
%  pdflatex latexsheet.tex
%
% 2.
%  latex latexsheet.tex
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% If you're reading this, be prepared for confusion.  Making this was
% a learning experience for me, and it shows.  Much of the placement
% was hacked in; if you make it better, let me know...


% 2008-04
% Changed page margin code to use the geometry package. Also added code for
% conditional page margins, depending on paper size. Thanks to Uwe Ziegenhagen
% for the suggestions.

% 2006-08
% Made changes based on suggestions from Gene Cooperman. <gene at ccs.neu.edu>


% To Do:
% \listoffigures \listoftables
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% This sets page margins to .5 inch if using letter paper, and to 1cm
% if using A4 paper. (This probably isn't strictly necessary.)
% If using another size paper, use default 1cm margins.
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% Turn off header and footer
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\begin{document}

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% multicol parameters
% These lengths are set only within the two main columns
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\begin{center}
     \Large{ZF Wettersysteme asd} \\
		 \small{701-0473-00L Wettersysteme, bei M. Sprenger \& F. Aemisegger} \\
		 \small{Jannis Portmann \the\year}
\end{center}

\begin{center}
	\rule{\linewidth}{0.25pt}
\end{center}

\section{Thermodynamik}
\subsection{Potentielle Temperatur}
$$\theta = T \bigg(\frac{p_o}{p} \bigg)^\kappa$$
Bsp.
$$\frac{T_{Boden}}{T_{LCL}} = \bigg( \frac{p_{Boden}}{p_{LCL}} \bigg)^\kappa$$

\subsection{Hydrostatische Grundgleichung}
$$\frac{dp}{dz} = -\rho g$$
integriert
$$h = \frac{RT}{g}\ln \bigg(\frac{p_o}{p} \bigg)$$

\subsection{Stabilität}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=3.5cm]{stability.png}
    \caption{Hydrostatische Stabilität}
    \label{fig:stability}
\end{figure}

\subsubsection{Brunt-Väisälla Frequenz}
$$N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}$$
$N^2 > 0: stabil$

\section{Winde und Fronten}
\subsection{Geostrophischer Wind}
$$fu_G = -g \frac{\partial \phi}{\partial y}$$
$$fv_G = g \frac{\partial \phi}{\partial x}$$
wobei $f$ der Coriolis-Parameter ist.

Geostrophische Näherung ist gültig, wenn der Rossby-Parameter $<1$.
$$Ro = \frac{U}{fL}<1$$

\subsection{Thermischer Wind}
$$\frac{\partial v_g}{\partial z} = \frac{g}{fT} \vec{k} \times \nabla_hT$$
integriert
$$\vec{v_T}=\vec{v_g}(p_1)-\vec{v_g}(p_2) = \frac{R}{f}\ln \bigg(\frac{p_1}{p_2} \bigg)\vec{k} \times \nabla_h T$$
wobei
$\vec{k} \times \nabla_h T = \frac{\Delta T}{\Delta y}$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=5cm]{thermischer_wind.png}
    \caption{Thermischer Wind}
    \label{fig:therm-wind}
\end{figure}

\subsection{Temperaturadvektion}
Verschiebung warmer oder kalter Luft (Norhemispäre: von S nach N Warmlufadvektion z.B. durch Barokline Welle (s. auch \ref{fig:energy-baroclinity}))
$$F = -\vec{v}\cdot\vec{\nabla} T$$

\subsection{Ageostrophischer Wind}
Senkrecht auf den Wind (normal)
$$V_{an} = \frac{1}{f}\frac{DV}{Dt}$$
Entlang dem Wind (streamwise)
$$V_{as} = \frac{1}{f}\frac{V^2}{R_t}$$
wobei $V$ die horizontale Windgeschwindigkeit, $f$ der Coriolisparameter und $R_t$ die Krümmung der Trajektorie (zyklonal = positiv) ist.

\section{Satellitenbilder}
\subsection{Kanäle}
\begin{itemize}
    \item \textbf{VIS}: Intensität abhängig von Albedo, hohe Intensität = hohereflektierende Fläche = weiss, Unterscheidung Wolken - Eisschwierig, nur am Tag VIS Bilder
    \item \textbf{WV}: durch Strahlungsmessung von obersterstark  feuchter  Schicht  in  Atmosphäre.  Obere  Troposphäreund tiefe Temperaturen $\Rightarrow$ geringe Intensitäten = weiss. Für Feuchteverhältnisse in oberer Troposphäre (300-600 hPA). Passiver Tracer der atmosphärischen Strömung
    \item \textbf{IR}: Temp. der abstrahlenden Oberfläche. Warm = hohe Intensität = schwarz. Hohe Wolken weiss, weil Oberfläche kalt.Hohe/tiefe Wolken lassen sich gut unterscheiden. Tiefe Wolken/Nebel kaum sichtbar, da $\Delta T$ zu gering. Misst $\lambda_{max} \Rightarrow T_{Wolke}$
\end{itemize}

\section{Dynamik}
\subsection{Vorticity}
$$\xi = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = \vec{k} \cdot \nabla \times \vec{v_h}$$

$$\frac{d\xi}{dt} = -\vec{v}\cdot \vec{\nabla}(\xi + f) - (\xi + f)\bigg(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\bigg)$$

\subsection{Potentielle Vorticity (PV)}
$$Q = \frac{1}{\rho}(f+\xi)\frac{\partial \theta}{\partial z}$$
für synoptische Skalen ($\xi \ll f$) vereinfacht sich der Ausdruck zu
$$Q = \frac{1}{\rho}f\frac{\partial \theta}{\partial z}$$

\begin{itemize}
    \item Grenze der Stratosphäre bei 2PVU
    \item Bleibt bei trockenadiabatioschen Prozessen erhalten
\end{itemize}

\subsubsection{Invertibilitätsprinzip}
PV-Verteilung in Atmosphäre zusammen mit Verteilung derpotentiellen Temperatur am Boden legt die quasi- horizontaleStrömung (Druck-, Temperatur-, Windfeld) fest.

\subsection{PV-Streamer}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=5cm]{pv-streamer.png}
    \caption{Wind entlang eines PV-Streamer}
    \label{fig:pv-streamer}
\end{figure}

\subsection{PV-Anomalien}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=5cm]{pv-anomaly.png}
    \caption{Schnitt eines PV-Streamer (positive Anomalie)}
    \label{fig:pv-anomaly}
\end{figure}

\subsubsection{Erzeugung und Vernichtung von PV}
$$\frac{D}{Dt} Q = -g \vec{\eta_p} \cdot \vec{\nabla_p} \dot{\theta} - g\vec{\nabla_p} \theta \cdot (\vec{\nabla_p} \times \vec{F})$$
Wobei $\dot{\theta} \space [\mathrm{Ks^{-1}}]$ die adiabatische Heizrate und $\vec{F}$ die Summe der nicht-konservativen Kräfte

\section{Lagrange'sche- vs Euler'sche Perspektive}
\subsection{Lagrange'sche Perspektive}
Aus Sicht eines Partikels $\Rightarrow$ materielle Ableitung\\
Z.B.
$$\frac{D \theta}{Dt} = \frac{\partial \theta}{\partial t} + (v \cdot \nabla) \theta$$

\subsection{Euler'sche Perspektive}
Aus Sicht eines ortsfesten Punktes\\
Z.B.
$$\frac{\partial \theta}{\partial t}$$

\section{Globale Zirkulation}
\subsection{Antrieb}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=5cm]{rad_balance_ERBE_1987.jpg}
    \caption{Differentielle Erwärmung}
    \label{fig:radiation-balance}
\end{figure}
Zirkulation (Wärmefluss gegen Pole) wirkt Strahlungsunterschieden entgegen.

\subsection{Jets}
Hadley Cell (thermisch direkt), Ferrel Cell (thermisch indirekt) und polar Cell (thermisch direkt) führen zu Jets zwischen den einzelnen Zellen

\subsubsection{Thermisch direkte Zirkulation}
Aufsteigen in tieferen Breiten, absinken in höheren Breiten

\subsection{Umwandlung der Energie}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=5cm]{energy.png}
    \caption{Umwandlung der Energieformen}
    \label{fig:energy-forms}
\end{figure}

\subsubsection{Baroklinität}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=6cm]{baroclinity.png}
    \caption{Energie aus Baroklinität}
    \label{fig:energy-baroclinity}
\end{figure}
\begin{itemize}
    \item Baroklinität führt zu kinetischer Energie (grösserer Gradient $\rightarrow$ höhere potentielle Energie)
    \item Die Baroklinität ist im Winter grösser als Sommer (v.a. weiter südlich)
\end{itemize}

\subsubsection{Barokline Welle}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=6cm]{barocline-wave.png}
    \caption{Barokline Welle mit Wellenachse}
    \label{fig:wave-baroclinity}
\end{figure}
Tiefdruckgebietsbildung an Trog-Vorderseite

\subsection{Heiztank Beispiel}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=6cm]{heat-tank-example.png}
    \caption{Thermische Zirkulation}
    \label{fig:circulation-example}
\end{figure}


\section{Tropopause}
Sprünge bei Jetstream-Einflusss

\subsection{Definitionen}
\subsubsection{Thermische Tropopause}
$$-\frac{dT}{dz} < 2Kkm^{-1}$$
für min. 2km

\begin{itemize}
    \item basiert nicht auf einer Erhaltungsgrösse (willkürlich)
\end{itemize}

\subsubsection{Dynamische Tropopause}
$$Q = 2\mathrm{pvu}$$

\begin{itemize}
    \item basiert auf der adiabatischen Erhaltungsgrösse $Q$ (PV)
\end{itemize}

\subsubsection{Chemische Tropopause}
Fläche bestimmter Ozonkonzentration

\subsubsection{Tropische Tropopause}
Da am Äquator $f=0$:
$$Q \approx \frac{1}{\rho}f\frac{\partial \theta}{\partial z} = 0$$
Darum Isentrope Fläche 380K für tropische Regionen

\subsection{Stratosphere-Troposhphere Exchange (STE)}
Im Winter am grössten
\subsubsection{Tropo- to Stratoshpere Transport (TST)}
\begin{itemize}
    \item Maximum über Nordatlantik und Westamerika
\end{itemize}

\subsubsection{Strato- to Troposhpere Transport (STT)}
\begin{itemize}
    \item Maximum über Nordatlantik und -pazifik (Stormtracks)
    \item meist shallow exchanges
\end{itemize}

\subsection{Prozesse}
\begin{itemize}
    \item Tropo- bzw. Stratosphärische Cutoffs
    \item Streamer
    \item Tropopausenfalten
    \item brechende Schwerewellen
    \item Kovektion
\end{itemize}

\section{Isotopen-Meteorologie}
\subsection{Isotopenverhältnis}
$$\delta = \frac{R_\mathrm{sample}-R_\mathrm{std}}{R_\mathrm{std}}$$
$R_\mathrm{std}2H = 0.00015576$ \\
$R_\mathrm{std}18O = 0.00200520$ \\

\subsection{Fraktionierung}
\subsubsection{Gleichgewichts Fraktionierung}
Bei $RH=100\%$
\begin{itemize}
    \item Bei Phasenübergängen werden Isotopen nicht gleich verteilt
    \item Schwere Isotopen bevorzugen Phase mit stärkerer Bindung (da tieferer Sättigungsdampfdruck)
    \item Grösser bei tiefen Temperaturen
\end{itemize}

\subsubsection{Nicht-Gleichgewichts Fraktionierung}
Bei $RH<100\%$
\begin{itemize}
    \item Bei Phasenübergängen werden Isotopen nicht gleich verteilt
    \item Schwere Isotopen haben eine geringere Diffusivität
    \item Grösser bei starker Untersättigung
\end{itemize}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=6cm]{isotopes.png}
    \caption{Schematische Verteilung von Isotopen}
    \label{fig:isotopes}
\end{figure}

\section{Gebirgsmeteorologie}
\subsection{Um- oder Überstömung}
Möglicher Ablauf
\begin{itemize}
    \item (a) Deformation der Kaltfront und Ausbildung von Südföhn
    \item (b) Kaltluftausbruch ins westliche Mittelmeer (Mistral) und Bildung einer Lee-Zyklone
    \item (c) Bewegung der Lee-Zyklone nach Osten und Einsetzen von Bora und Nordföhn
\end{itemize}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=6cm]{alpenumströmung.png}
    \caption{Wechselwirkung Kaltfront}
    \label{fig:alps}
\end{figure}

\subsubsection{Lee-Zyklogenese}
Durch Mistral entsteht PV-Anomalie am Westrand der Alpen. Diese schnürt sich eventuell ab und beginnt die Zyklogenese im Golf von Genua.
Höhen-PV-Streamer unterstütz dieses Vorgehen mit Cut-Off. (Zusammenspiel von Höhen- und Boden-PV-Anomalien)

\subsubsection{Inverse Froude-number}
Zum Abschätzen ob die Luft ein Gebirge Um- oder Überströmt (kleine $Fr \rightarrow$ wahrscheinlichere Überströmung).
$$Fr = \frac{NH}{U}$$
Wobei $N$ die Schichtung (Brunt-Väisälla), $H$ die Gebirgshöhe und $U$ die Anströmgeschwindigkeit ist.

\subsection{Schwerewellen}
\subsection{Entstehung}
Störung in der Druckverteilung durch auf- und absteigende Bewegungen, die sich vertikal ausbreitet.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=5cm]{gravity-waves.png}
    \caption{Schwerewellen bei Überströmung eines Gebirges}
    \label{fig:gravity-waves}
\end{figure}
Verantwortlich für die Bildung von Lenticularis \\ 

\subsection{Brechende Schwerewellen}
Verändert das Windfeld (vertikal und horizontal) stark, kann zu starken Turbulenzen führen.

\section{Planetare Grenzschicht}
\begin{itemize}
    \item Bis ca. 1km (Höhe der tieffsten Inversion)
    \item Geostrophisches GGW gilt hier nicht
    \item Hohe Aerosolkonzentration
\end{itemize}

\subsection{Turbulente kinetische Energie (TKE)}
$$TKE = \frac{1}{2}(\bar{u'}^2+\bar{v'}^2+\bar{w'}^2)$$

$$\frac{\partial}{\partial t}(TKE) = -\overline{u'w'}\cdot \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} - \overline{v'w'}\cdot \frac{\partial \bar{v}}{\partial z} + \frac{g}{\bar{\theta_v}} \cdot \overline{w'\theta'_v}$$
$$-\frac{\partial}{\partial z}(\overline{w'TKE}+\frac{\overline{w'p'}}{\rho})-\epsilon$$

\subsubsection{Richardson Zahl}
$$Rf = \frac{g}{\bar{\theta_v}} \cdot \overline{w'\theta_v'} \cdot (\overline{u'w'}\frac{\partial \bar{u}}{\partial z} + \overline{v'w'}\frac{\partial \bar{v}}{\partial z})$$
$Rf < 1$: Turbulenz, $Rf > 1$: keine Turbulenz


\section{Konstanten}
\begin{itemize}
    \item $R_\mathrm{s, dry-air} = 287.058 \space \mathrm{J}\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}$
    \item $c_\mathrm{p, dry-air} = 1005 \mathrm{J}\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}$
    \item $\kappa = \frac{R_\mathrm{s, dry-air}}{c_{p,\mathrm{dry-air}}} = 0.28$
    \item $1 \mathrm{pvu} = 1 \times 10^{-6}\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-1}\mathrm{K}\mathrm{kg}^{-1}$
\end{itemize}

\scriptsize

\section{Copyleft}

\doclicenseImage \\
Dieses Dokument ist unter (CC BY-SA 3.0) freigegeben \\
\faGlobeEurope \kern 1em \url{https://n.ethz.ch/~jannisp} \\
\faGit \kern 0.88em \url{https://git.thisfro.ch/thisfro/wettersysteme-zf} \\
Jannis Portmann, HS20

\end{multicols*}
\end{document}
