\documentclass[8pt,landscape]{article} \usepackage{multicol} \usepackage{calc} \usepackage{bookmark} \usepackage{ifthen} \usepackage[a4paper, landscape]{geometry} \usepackage{hyperref} \usepackage{ccicons} \usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb, amsthm} \usepackage{listings} \usepackage{graphicx} \usepackage{fontawesome5} \usepackage{xcolor} \usepackage{float} \usepackage{apacite} \usepackage[ type={CC}, modifier={by-sa}, version={3.0} ]{doclicense} \graphicspath{{./img/}} \definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0} \definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5} \definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82} \definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92} \lstdefinestyle{mystyle}{ backgroundcolor=\color{backcolour}, commentstyle=\color{codegreen}, keywordstyle=\color{magenta}, numberstyle=\tiny\color{codegray}, stringstyle=\color{codepurple}, basicstyle=\ttfamily\footnotesize, breakatwhitespace=false, breaklines=true, captionpos=b, keepspaces=true, numbers=left, numbersep=5pt, showspaces=false, showstringspaces=false, showtabs=false, tabsize=2 } \lstset{style=mystyle} % To make this come out properly in landscape mode, do one of the following % 1. % pdflatex latexsheet.tex % % 2. % latex latexsheet.tex % dvips -P pdf -t landscape latexsheet.dvi % ps2pdf latexsheet.ps % If you're reading this, be prepared for confusion. Making this was % a learning experience for me, and it shows. Much of the placement % was hacked in; if you make it better, let me know... % 2008-04 % Changed page margin code to use the geometry package. Also added code for % conditional page margins, depending on paper size. Thanks to Uwe Ziegenhagen % for the suggestions. % 2006-08 % Made changes based on suggestions from Gene Cooperman. % To Do: % \listoffigures \listoftables % \setcounter{secnumdepth}{0} % This sets page margins to .5 inch if using letter paper, and to 1cm % if using A4 paper. (This probably isn't strictly necessary.) % If using another size paper, use default 1cm margins. \ifthenelse{\lengthtest { \paperwidth = 11in}} { \geometry{top=.5in,left=.5in,right=.5in,bottom=.5in} } {\ifthenelse{ \lengthtest{ \paperwidth = 297mm}} {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } {\geometry{top=1cm,left=1cm,right=1cm,bottom=1cm} } } % Turn off header and footer \pagestyle{empty} % Redefine section commands to use less space \makeatletter \renewcommand{\section}{\@startsection{section}{1}{0mm}% {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% {0.5ex plus .2ex}%x {\normalfont\large\bfseries}} \renewcommand{\subsection}{\@startsection{subsection}{2}{0mm}% {-1explus -.5ex minus -.2ex}% {0.5ex plus .2ex}% {\normalfont\normalsize\bfseries}} \renewcommand{\subsubsection}{\@startsection{subsubsection}{3}{0mm}% {-1ex plus -.5ex minus -.2ex}% {1ex plus .2ex}% {\normalfont\small\bfseries}} \makeatother % Define BibTeX command \def\BibTeX{{\rm B\kern-.05em{\sc i\kern-.025em b}\kern-.08em T\kern-.1667em\lower.7ex\hbox{E}\kern-.125emX}} % Don't print section numbers % \setcounter{secnumdepth}{0} \setlength{\parindent}{0pt} \setlength{\parskip}{0pt plus 0.5ex} % ----------------------------------------------------------------------- \begin{document} \raggedright \footnotesize \begin{multicols*}{3} % multicol parameters % These lengths are set only within the two main columns %\setlength{\columnseprule}{0.25pt} \setlength{\premulticols}{1pt} \setlength{\postmulticols}{1pt} \setlength{\multicolsep}{1pt} \setlength{\columnsep}{2pt} \begin{center} \Large{ZF Mathematik V} \\ \small{701-0106-00L Mathematik V, bei M. A. Sprenger} \\ \small{Jannis Portmann \the\year} \\ {\ccbysa} \rule{\linewidth}{0.25pt} \end{center} \section{Gewöhnliche Differentialgleichungen} \subsection{1. Ordnung} $$\frac{dH}{dt} = v_0 - \frac{H(t)}{\tau}$$ Eine Lösung davon $$H(t) = (H_0 - v_0\tau)^{\frac{-t}{\tau}} + v_0 \tau$$ \subsection{Fliessgleichgewicht} Für eine Funktion $F$, bei $$\frac{dF}{dt} = 0$$ \section{Vektoranalysis} \subsection{Satz von Gauss} $$\iint_A \mathrm{div} \, v \, dA = \oint_C \, v \, dr$$ Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$ \subsection{Satz von Stokes} $$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA = \oint_C \, v \, ds$$ Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation) \vspace{5px} \textbf{Bsp} \\ Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\ Der Satz von Stokes lifert: $$\xi_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$ nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \xi_0 R$ \subsection{Koordinatentransformation} Wir verwenden meistens geographische Koordinaten. \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.15\textwidth]{1024px-Geographic_coordinates_sphere.png} \caption{Geographisches Koorinatensystem} \label{fig:geo-coordinates} \end{figure} \vspace{5px} Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit: $$dx = h_1 \, da$$ $$dy = h_2 \, db$$ $$dz = h_3 \, dc$$ wobei jeweils $\vec{e_x} = \vec{e_a}$ etc. \\ Aus dem obigen folgen mit dem Satz von Gauss: $$\mathrm{div} \, v = \frac{1}{h_1 \, h_2} \bigg(\frac{\partial}{\partial a}(u \, h_2) + \frac{\partial}{\partial b}(v \, h_1) \bigg)$$ Analog mit dem Satz von Stokes: $$\xi = \frac{1}{r \, \cos\varphi} \frac{\partial v}{\partial \lambda} - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} + \frac{\tan \varphi}{r} u$$ Der letzte Term folgt aus der Produkteregel! \section{Matrixmethoden} \subsection{Equilibrium} Setze $\frac{df_i}{dn_j} = 0$ und löse Gleichungssystem \subsection{Jacobimatrix} $$J = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f_1}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_1}{\partial n_k} \\ \vdots \ddots \vdots \\ \frac{\partial f_k}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_k}{\partial n_k} \end{array} \right)$$ Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\ \vspace{5px} \begin{itemize} \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\ \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\ \item $x > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: instabil \\ \item $y > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: Oszillation um Equilibrium \\ \item $x$ ist die Konvergenz-/Divergenz-Rate zum/vom Equlibrium \\ \item $1/y$ ist die Periode der Oszillation \end{itemize} \subsection{SIR-Modell} SIR: Susceptible-Infected-Recovered \\ \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=.3\textwidth]{SIR.png} \caption{SIR-Modell} \label{fig:sir} \end{figure} \begin{align*} \frac{dS}{dt} &= \Lambda - \delta_SS - \beta S I \\ \frac{dI}{dt} &= \beta S I - \delta_I - rI \\ \frac{dR}{dt} &= rI - \delta_R \\ \end{align*} $\Lambda$: Geburten- oder Immigrationsrate \\ $\delta_S, \delta_I, \delta_R$: Sterberaten der jeweiligen (Teil-)populationen \\ $r$: Erholungsrate von $I$ \\ $\beta S I$: Mass-action Infektionsrate \\ \begin{itemize} \item Disease-free equilibrium: $$S_f = \Lambda / \delta_S, I_f=0, R_f=0$$ \item Endemic equilibrium: $$S = \frac{\delta_1 + r}{\beta} , I_e=\frac{\Lambda}{\delta_1} - \frac{\delta_S}{\beta}, R_e = \frac{r}{\delta_R}(\frac{\Lambda}{\delta_1 + r} - \frac{\delta_S}{\beta})$$ \item \end{itemize} \section{Taylor-Reihe} An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$ \section{Operatoren} $$\mathrm{div} \, \vec{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}$$ $$\mathrm{rot} \, \vec{u_{xy}} = \nabla \times \vec{u} = (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})$$ $$\mathrm{rot} \, \vec{u_{xyz}} = \nabla \times \vec{u} = (\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}, \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})$$ $$\nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}$$ \scriptsize \section{Copyleft} \doclicenseImage \\ Dieses Dokument ist unter (CC BY-SA 3.0) freigegeben \\ \faGlobeEurope \kern 1em \url{https://n.ethz.ch/~jannisp} \\ \faGit \kern 0.88em \url{https://git.thisfro.ch/thisfro/mathematik-v-zf} \\ Jannis Portmann, FS21 \section{Referenzen} \begin{enumerate} \item Skript zur Vorlesung \end{enumerate} \section*{Bildquellen} \begin{itemize} \item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg} \item Abb. \ref{fig:sir}: Vorlesungsunterlagen \end{itemize} \end{multicols*} \end{document}