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% a learning experience for me, and it shows.  Much of the placement
% was hacked in; if you make it better, let me know...


% 2008-04
% Changed page margin code to use the geometry package. Also added code for
% conditional page margins, depending on paper size. Thanks to Uwe Ziegenhagen
% for the suggestions.

% 2006-08
% Made changes based on suggestions from Gene Cooperman. <gene at ccs.neu.edu>


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\begin{document}

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\begin{center}
     \Large{ZF Mathematik V} \\
    \small{\href{http://www.vvz.ethz.ch/Vorlesungsverzeichnis/lerneinheitPre.do?lerneinheitId=150657&semkez=2021S&lang=de}{701-0106-00L}} \\
    \small{Jannis Portmann \the\year} \\
    {\ccbysa}
\rule{\linewidth}{0.25pt}
\end{center}

\section{Gewöhnliche Differentialgleichungen}
\subsection{1. Ordnung}
$$\frac{dH}{dt} = v_0 - \frac{H(t)}{\tau}$$

Eine Lösung davon
$$H(t) = (H_0 - v_0\tau)e^{\frac{-t}{\tau}} + v_0 \tau$$
kann mit dem Ansatz
$$N(t) = B + A e^{-{t/\tau}}$$
hergeleitet werden.

Also gilt für $t \rightarrow \infty$
$$N(\infty) = v_0 \tau$$

\subsection{Fliessgleichgewicht}
Für eine Funktion $F$, bei
$$\frac{dF}{dt} = 0$$

\section{Vektoranalysis}
\subsection{Satz von Gauss}
$$\iint_A \mathrm{div} \, v \, dA = \oint_C \, v \, dr$$
Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$

\subsection{Satz von Stokes}
$$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA  = \oint_C \, v \, ds$$
Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation)

\vspace{5pt}

\textbf{Bsp} \\
Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\
Der Satz von Stokes lifert:
$$\xi_0 \cdot (2R)^2 \pi = \int_0^{2\pi}u_\varphi \cdot 4R \cdot d\varphi$$
nach $u_\varphi$ auflösen: $u_\varphi = \frac{1}{2} \xi_0 R$

\subsection{Koordinatentransformation}
Wir verwenden meistens geographische Koordinaten.
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.15\textwidth]{1024px-Geographic_coordinates_sphere.png}
    \caption{Geographisches Koorinatensystem}
    \label{fig:geo-coordinates}
  \end{figure}

  \vspace{5pt}

Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit:
$$dx = h_1 \, da$$
$$dy = h_2 \, db$$
$$dz = h_3 \, dc$$
wobei jeweils $\vec{e_x} = \vec{e_a}$ etc. \\
Aus dem obigen folgen mit dem Satz von Gauss:
$$\mathrm{div} \, v = \frac{1}{h_1 \, h_2} \bigg(\frac{\partial}{\partial a}(u \, h_2) + \frac{\partial}{\partial b}(v \, h_1) \bigg)$$
Analog mit dem Satz von Stokes:
$$\xi = \frac{1}{r \, \cos\varphi} \frac{\partial v}{\partial \lambda} - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} + \frac{\tan \varphi}{r} u$$
Der letzte Term folgt aus der Produkteregel!

\section{Matrixmethoden}
\subsection{Equilibrium}
Setze $\frac{df_i}{dn_j} = 0$ und löse Gleichungssystem

\subsection{Jacobimatrix}
$$J = \left( \begin{array}{ccc}
    \frac{\partial f_1}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_1}{\partial n_k} \\
    \vdots \ddots \vdots \\
    \frac{\partial f_k}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_k}{\partial n_k}
\end{array} \right)$$

Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\
\vspace{5pt}
\begin{itemize}
    \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\
    \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\
    \item $x > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: instabil \\
    \item $y > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: Oszillation um Equilibrium \\
    \item $x$ ist die Konvergenz-/Divergenz-Rate zum/vom Equlibrium \\
    \item $1/y$ ist die Periode der Oszillation
\end{itemize}


\subsection{SIR-Modell}
SIR: Susceptible-Infected-Recovered \\

\subsubsection{Single-Strain SIR}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.25\textwidth]{SIR.png}
    \caption{SIR-Modell}
    \label{fig:sir}
\end{figure}

\begin{align*}
    \frac{dS}{dt} &= \Lambda - \delta_SS - \beta S I \\
    \frac{dI}{dt} &= \beta S I - \delta_I - rI \\
    \frac{dR}{dt} &= rI - \delta_R \\
\end{align*}

$\Lambda$: Geburten- oder Immigrationsrate \\
$\delta_S, \delta_I, \delta_R$: Sterberaten der jeweiligen (Teil-)populationen \\
$r$: Erholungsrate von $I$ \\
$\beta S I$: Mass-action Infektionsrate \\

\begin{itemize}
    \item Disease-free equilibrium: 
        $$S_f = \Lambda / \delta_S, I_f=0, R_f=0$$
    \item Endemic equilibrium:
        $$S = \frac{\delta_1 + r}{\beta} , I_e=\frac{\Lambda}{\delta_1} - \frac{\delta_S}{\beta}, R_e = \frac{r}{\delta_R}(\frac{\Lambda}{\delta_1 + r} - \frac{\delta_S}{\beta})$$
\end{itemize}

Für das Disease-free equilibrium ergeben sich die Eigenwerte aus
$$(-\delta_S - \lambda)(\frac{\beta \Lambda}{\delta_S} - \delta_I - r - \lambda)(- \delta R - \lambda) = 0$$
also
\begin{itemize}
    \item $\lambda_1 = -\delta_S$
    \item $\lambda_2 = -\delta_R$
    \item $\lambda_3 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S} - \delta_I - r$
\end{itemize}

\subsubsection*{Reproduktionszahl $R_0$}
$$R_0 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S(\delta_I + r)} = \frac{\beta S_f}{\delta_I + r}$$
\begin{itemize}
    \item $R_0 > 1$: Ausbreitung
    \item $R_0 < 1$: Aussterben
\end{itemize}

\subsubsection{Multi-Strain SIR}
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.25\textwidth]{SIR-2.png}
    \caption{SIR-Modell mit zwei verschiedenen Erregern}
    \label{fig:sir-2}
\end{figure}

Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$

\section{Oszillation}
\subsection{Reibungsfrei}
$$\underbrace{\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2}}_\text{Beschleunigung Luftpaket} + \underbrace{N^2 \Delta z}_\text{rücktreibende Kraft} = 0$$

wobei $N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}$ die Brunt-Väisälla-Frequenz
\vspace{10pt} \\
Mögliche Lösungen davon
$$\Delta z(t) = A \sin (Nt)$$
$$\Delta z(t) = B \cos (Nt)$$
$$\Delta z(t) = C \sin (Nt) + D \cos (Nt)$$
$$\Delta z(t) = E \sin (Nt + \delta)$$

oder in komplexer Schreibweise (Euler-Identität)
$$\Delta z(t) = Ae^{iNt}$$

\subsection{Mit Reibung}
$$\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2} + N^2 \Delta z + k \frac{D \Delta z}{D t} = 0$$
Lösung mit Ansatz $\Delta z(t) = A e^{i \omega t}$, führt zu
$$\omega^2 - ik\omega - N^2 = 0$$
also $\omega_{1,2} = \frac{1}{2}(ik \pm \sqrt{4N^2 - k^2})$ und somit
$$\Delta z(t) = A \exp(-\frac{1}{2}kt)\exp(\frac{1}{2}i\sqrt{4N^2 - k^2}t)$$

\section{Wellengleichung}
\subsection{1D-Welle}
Für die Amplitude $\psi$
$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \Delta \psi$$
wobei $\Delta$ der Laplace-Operator ist. Somit im 1D-Fall
$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$
Eine Lösung davon
$$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$
wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\
\vspace{5pt}
Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\
\subsubsection{Kennzahlen}
Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\
Wellenlänge $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ \\
Periode $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$

\subsubsection{Wellenüberlagerung}
Für die Gruppengeschwindigkeit zweier überlagerter Wellen mit $k_1 \neq k_2$ und $\omega_1 \neq \omega_2$ gilt
$$v_g = \frac{d \omega}{d k} \approx \frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$
Dispersion tritt auf, falls $v_g \neq v_p$ (in der Praxis meist der Fall)

\subsection{2D-Welle}
Für eine Linie konstanter Phase (Phasenlinie)
$$kx + ly - \omega t = \mathrm{const.}$$
Die Ausbreitung verläuft senkrecht auf diese Linien, was entlang dem Wellenvektor $\vec{h}$ entspricht. \\
\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.25\textwidth]{phasenlinien.png}
    \caption{Phasenlinien einer 2D-Welle}
    \label{fig:phasenlinien}
\end{figure}


\subsubsection{Kennzahlen}
Für die Wellenlängen gilt
$$\lambda_x = 2\pi / k, \; \lambda_y = 2\pi / l$$
bzw. die Wellenlänge entlang der Ausbreitung
$$\lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$
Der Wellenvektor ist
$$\vec{h} = (k,l)$$
Die Phasengeschwindigkeit
$$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$

\subsection{Komplexer Wellenansatz}
\begin{itemize}
    \item 1D: $A e^{i(kx - \omega t)}$
    \item 2D: $A e^{i(kx + ly - \omega t)}$
    \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$
\end{itemize}

\section{Transportgleichung}
Sei $\phi(x,y,z,t)$ ein physikalisches Feld mit Punkten $P(x,y,z)$ über die Zeit.

\subsection{Euler'sche Perspektive}
Beobachtung am Punkt $P(x_0,y_0,z_0)$ wird gemessen:
$$\phi^E(t) = \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$
Die zeitliche Änderung
$$\dot{\phi}^E(t) = \frac{\partial}{\partial t} \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$

\subsection{Lagrange'sche Perspektive}
Messung wird "mitgetragen", entlang einer Trajektorie $\vec{x}(t)$
$$\phi^L(t) = \phi(x(t),y(t),z(t),t)$$
Die zeitliche Änderung (materielle Ableitung)
$$\dot{\phi}^L(t) = \frac{D}{D t} \phi = \frac{d}{dt} \phi \bigg( x(t),y(t),z(t),t \bigg) = \frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u} \cdot \nabla\phi$$
Wobei $\vec{u}$ z.B. die Strömungsgeschwindigkeit ist

\subsection{Beliebiger Pfad}
Als Beispiel bewegen wir uns in einem Flugzeug mit der Geschwindigkeit $\vec{v_F}$, dann gilt für die Veränderung
$$\frac{\partial \phi}{\partial t}\bigg|_F = \frac{D \phi}{D t} + (\vec{v_F} - \vec{u}) \cdot \nabla \phi$$

\subsection{Quellen und Senken}
Langrange'sche Perspektive
$$\frac{D \phi}{D t} = s$$
Analog für Euler
$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$
Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$!

\section{Folgen und Reihen}
Folge: $\{a_n\} = a_1,a_2,...,a_n,a_{n+1},...$ \\
Reihe: $\{s_n\} = s_1,s_2,...,s_n,s_{n+1},...$, wobei
$$s_n = \sum_{k=1}^{k=n}a_k$$

\subsection{Bildungsgesetze}
\textbf{Explizit}
$a_n$ kann direkt berechnet werden, z.B. $a_n = n$

\textbf{Rekursiv}
$a_n$ wird als Funktion von $a_{n-1}$ angegeben, z.B. $a_n = a_{n-1} + 1$

\subsection{Arithmetische Folge}

\subsection{Geometrische Folge}
Verhältnis von zwei aufeinander folgenden Gliedern ist konstant
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q , \, a_n = a_1 q^{n-1}$$
Daraus folgt die \textbf{geometrische Reihe}
$$s_n = \sum_{k=1}^{k=n}a_1 q^{k-1} = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$$
für $|q| < 1$
$$\lim_{n\rightarrow\infty} s_n = a_1 \frac{1}{1-q}$$

\subsection{Fraktale Geometrie}
\begin{itemize}
    \item $R$ = Anzahl Teillängen
    \item $P$ = Löcher/Poren
    \item $F$ = Anzahl Felder (1D: $R$, 2D: $R^2$, 3D: $R^3$) - P
\end{itemize}

\subsubsection{Hausdorff-Dimension}
Für Betrachtungen geometrischer Objekte mit Seitenlängen $N(R)$ gilt
$$D = \frac{\log F}{\log R}$$
Wenn $D$ nicht ganzzahlig $\rightarrow$ Fraktal

\subsubsection{Präfraktale}
Als Präfraktale werden Fraktale einer bestimmter Ordnung verstanden. Ordnung 5 entspricht 5 Bildungsschritten. Ein ideales Fraktal besteht aus unendlich solcher Schritte. Ordnung 1 entspricht dem \textbf{Generator}.

\subsection{Beispiel}
Wenden Sie die zugrunde liegende Vorschrift für einen Würfel der Grösse $L=360\mu m$  für unendlich viele Iterationen 
an unter der Annahme, dass «die Löcher» Körner sind. In jeder Iteration werden aus einem Würfel der Kantenlänge $l$ 27 kleine Würfel der Kantenlänge $l/3$ erzeugt; 7 werden davon weggenommen (als Loch dargestellt, das hier ein Korn sein soll) und 20 kleine 
Würfel bleiben übrig, die dann wieder verkleinert werden. \\
\vspace{.2cm}
Zeigen sie, dass die in jeder Iteration erzeugten Kornvolumen durch eine geometrische Folge 
dargestellt werden. \\
\vspace{.2cm}
Wir bilden die Folge der in einer Iteration $n$ erzeugten  Kornvolumen, $V_n$ ,  in  der  Einheit  von  
Kubikmikrometern um $^3$. In jeder Iteration $n$ wird folgendes Kornvolumen erzeugt:
$$V_n = 20^{n-1} \cdot 7 \cdot \bigg(\frac{360}{3^n}\bigg)^3$$
Das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Folgegliedern ist:
$$\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{20^{n} \cdot 7 \cdot \big(\frac{360}{3^n}\big)^3}{20^{n-1} \cdot 7 \cdot \big(\frac{360}{3^{n+1}}\big)^3} = \frac{20}{3^3}$$
dieses Verhältnis ist offensichtlich von der Iterationszahl $n$ unabhängig und konstant, es handelt sich also um eine geometrische Folge. \\
\vspace{.2cm}
Die kumulierten Kornvolumen bilden dann eine geometrische Reihe $s_n$, mit der Formel 
$$s_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$$
wobei $a_1 = V_1$ und $q=\frac{20}{27}$. Wir erhalten
$$s_n = \sum_{i=1}^{i=n} V_i = V_1 \frac{1-(\frac{20}{27})^n}{1-\frac{20}{27}} = ... = 360^3 \bigg(1- \bigg(\frac{20}{27}\bigg)^n\bigg)$$
Berechnen sie das in unendlich vielen Iterationen erzeugte Kornvolumen $s_\infty$
$$s_\infty = V_1 \frac{1}{1-\frac{20}{27}} = 360^3 = 46.656\cdot 10^6 \mu m^3$$

\subsection{Anwendung in der Bodenphysik}
\subsubsection{Wassersättigung}
$$\Theta = \frac{\theta(h)}{\theta_s} = \bigg(\frac{h_b}{h}\bigg)^\lambda$$

\section{Taylor-Reihe}
An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
$$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$

\section{Operatoren}
$$\mathrm{div} \, \vec{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}$$

$$\mathrm{rot} \, \vec{u_{xy}} = \nabla \times \vec{u} = (\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})$$
$$\mathrm{rot} \, \vec{u_{xyz}} =  \nabla \times \vec{u} = (\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}, \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y})$$

$$\nabla = \begin{pmatrix}
    \frac{\partial}{\partial x},
    \frac{\partial}{\partial y},
    \frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}$$

$$\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}$$

\scriptsize

\section*{Copyleft}

\doclicenseImage \\
Dieses Dokument ist unter (CC BY-SA 3.0) freigegeben \\
\faGlobeEurope \kern 1em \url{https://n.ethz.ch/~jannisp} \\
\faGit \kern 0.88em \url{https://git.thisfro.ch/thisfro/mathematik-v-zf} \\
Jannis Portmann, FS21

\section*{Referenzen}
\begin{enumerate}
    \item Skript zur Vorlesung
\end{enumerate}

\section*{Bildquellen}
\begin{itemize}
  \item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg}
  \item Abb. \ref{fig:sir}, \ref{fig:sir-2}: Vorlesungsunterlagen
  \item Abb. \ref{fig:phasenlinien}: Jannis Portmann, basierend auf Vorlesungsunterlagen
\end{itemize}

\end{multicols*}

\end{document}