From f7c93c5e599dd1bee733684cb7a8fb7329eff172 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: jannisp Date: Mon, 26 Jul 2021 11:02:22 +0200 Subject: [PATCH 1/4] Add Oszillation chapter --- Mathematik-V-ZF.tex | 22 ++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 22 insertions(+) diff --git a/Mathematik-V-ZF.tex b/Mathematik-V-ZF.tex index 2a154f1..3fd0ea3 100644 --- a/Mathematik-V-ZF.tex +++ b/Mathematik-V-ZF.tex @@ -274,6 +274,28 @@ $$R_0 = \frac{\beta \Lambda}{\delta_S(\delta_I + r)} = \frac{\beta S_f}{\delta_I Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$ +\section{Oszillation} +\subsection{Reibungsfrei} +$$\underbrace{\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2}}_\text{Beschleunigung Luftpaket} + \underbrace{N^2 \Delta z}_\text{rücktreibende Kraft} = 0$$ + +wobei $N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}$ die Brunt-Väisälla-Frequenz +\vspace{10px} \\ +Mögliche Lösungen davon +$$\Delta z(t) = A \sin (Nt)$$ +$$\Delta z(t) = B \cos (Nt)$$ +$$\Delta z(t) = C \sin (Nt) + D \cos (Nt)$$ +$$\Delta z(t) = E \sin (Nt + \delta)$$ + +oder in komplexer Schreibweise (Euler-Identität) +$$\Delta z(t) = Ae^{iNt}$$ + +\subsection{Mit Reibung} +$$\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2} + N^2 \Delta z + k \frac{D \Delta z}{D t} = 0$$ +Lösung mit Ansatz $\Delta z(t) = A e^{i \omega t}$, führt zu +$$\omega^2 - ik\omega - N^2 = 0$$ +also $\omega_{1,2} = \frac{1}{2}(ik \pm \sqrt{4N^2 - k^2})$ und somit +$$\Delta z(t) = A \exp(-\frac{1}{2}kt)\exp(\frac{1}{2}i\sqrt{4N^2 - k^2}t)$$ + \section{Taylor-Reihe} An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$ From b211b2b092214019b91af0fd7910c305c1f32f6e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: jannisp Date: Tue, 27 Jul 2021 13:43:11 +0200 Subject: [PATCH 2/4] Add Waves chapter --- Mathematik-V-ZF.tex | 45 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 45 insertions(+) diff --git a/Mathematik-V-ZF.tex b/Mathematik-V-ZF.tex index 3fd0ea3..21de5e0 100644 --- a/Mathematik-V-ZF.tex +++ b/Mathematik-V-ZF.tex @@ -296,6 +296,49 @@ $$\omega^2 - ik\omega - N^2 = 0$$ also $\omega_{1,2} = \frac{1}{2}(ik \pm \sqrt{4N^2 - k^2})$ und somit $$\Delta z(t) = A \exp(-\frac{1}{2}kt)\exp(\frac{1}{2}i\sqrt{4N^2 - k^2}t)$$ +\section{Wellengleichung} +\subsection{1D-Welle} +Für die Amplitude $\psi$ +$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \Delta \psi$$ +wobei $\Delta$ der Laplace-Operator ist. Somit im 1D-Fall +$$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$$ +Eine Lösung davon +$$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$ +wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\ +\vspace{5px} +Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\ +\subsubsection{Kennzahlen} +Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\ +Wellenlänge $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ \\ +Periode $\tau = \frac{2\pi}{\omega}$ + +\subsubsection{Wellenüberlagerung} +Für die Gruppengeschwindigkeit zweier überlagerter Wellen mit $k_1 \neq k_2$ und $\omega_1 \neq \omega_2$ gilt +$$v_g = \frac{\Delta \omega}{\Delta k}$$ +Dispersion tritt auf, falls $v_g \neq v_p$ (in der Praxis meist der Fall) + +\subsection{2D-Welle} +Für eine Linie konstanter Phase +$$kx + ly - \omega t = \mathrm{const.}$$ +Die Ausbreitung verläuft senkrecht auf diese Linien, was entlang dem Wellenvektor $\vec{h}$ entspricht. \\ + +\subsubsection{Kennzahlen} +Für die Wellenlängen gilt +$$\lambda_x = 2\pi / k, \; \lambda_y = 2\pi / l$$ +bzw. die Wellenlänge entlang der Ausbreitung +$$\lambda = \frac{2\pi}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$ +Der Wellenvektor ist +$$\vec{h} = (k,l)$$ +Die Phasengeschwindigkeit +$$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$ + +\subsection{Komplexer Wellenansatz} +\begin{itemize} + \item 1D: $A e^{i(kx - \omega t)}$ + \item 2D: $A e^{i(kx + ly - \omega t)}$ + \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$ +\end{itemize} + \section{Taylor-Reihe} An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$ @@ -312,6 +355,8 @@ $$\nabla = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}$$ +$$\Delta \psi = \nabla^2 \psi = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}$$ + \scriptsize \section{Copyleft} From 7f32f8e37ea66e62a8352da24e73f56060131b6c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: jannisp Date: Thu, 29 Jul 2021 09:43:06 +0200 Subject: [PATCH 3/4] Add Transportgleichung --- Mathematik-V-ZF.tex | 40 +++++++++++++++++++++++++++++++++------- 1 file changed, 33 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/Mathematik-V-ZF.tex b/Mathematik-V-ZF.tex index 21de5e0..b3875dd 100644 --- a/Mathematik-V-ZF.tex +++ b/Mathematik-V-ZF.tex @@ -164,7 +164,7 @@ Flächenintegral der Divergenz von $v$ = Fluss von $v$ durch Rand $C$ $$\iint_A \mathrm{rot} \, v \, dA = \iint_A \xi \, dA = \oint_C \, v \, ds$$ Flächenintegral der Rotation von $v$ = Linienintegral von $v$ entlang $C$ (Zirkulation) -\vspace{5px} +\vspace{5pt} \textbf{Bsp} \\ Für eine Vorticity-Dsik mit $\xi = \xi_0$, $r=2R$ soll $u_\varphi$ bei $r=4R$ berechnet werden. \\ @@ -180,8 +180,8 @@ Wir verwenden meistens geographische Koordinaten. \caption{Geographisches Koorinatensystem} \label{fig:geo-coordinates} \end{figure} - -\vspace{5px} + + \vspace{5pt} Wir definieren für Kugelkoordinaten einen Würfel mit: $$dx = h_1 \, da$$ @@ -206,8 +206,7 @@ $$J = \left( \begin{array}{ccc} \end{array} \right)$$ Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\ - -\vspace{5px} +\vspace{5pt} \begin{itemize} \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\ \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\ @@ -279,7 +278,7 @@ Invasion von Strain (2), wenn $R_0^{(1)} < R_0^{(2)}$ $$\underbrace{\frac{D^2 \Delta z}{Dt^2}}_\text{Beschleunigung Luftpaket} + \underbrace{N^2 \Delta z}_\text{rücktreibende Kraft} = 0$$ wobei $N^2 = \frac{g}{\theta}\frac{\partial \theta}{\partial z}$ die Brunt-Väisälla-Frequenz -\vspace{10px} \\ +\vspace{10pt} \\ Mögliche Lösungen davon $$\Delta z(t) = A \sin (Nt)$$ $$\Delta z(t) = B \cos (Nt)$$ @@ -305,7 +304,7 @@ $$\frac{\partial \psi}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$ Eine Lösung davon $$\psi(x,t) = A \sin(kx - \omega t) = A \sin \big[k(x-ct)\big]$$ wobei $k$ die Wellenzahl und $\omega$ die Kreisfrequenz ist. Es gilt $c = \frac{\omega}{k}$, was gerade der Phasengeschwindigkeit entspricht. \\ -\vspace{5px} +\vspace{5pt} Wir beobachten für $c > 0$ eine Verschiebung des Wellenmusters in positiver x-Richtung. \\ \subsubsection{Kennzahlen} Phasengeschwindigkeit $v_p = c = \frac{\omega}{k}$ \\ @@ -339,6 +338,33 @@ $$v_p = \frac{\omega}{\sqrt{k^2 + l^2}}$$ \item 3D: $A e^{i(kx + ly + mz - \omega t)}$ \end{itemize} +\section{Transportgleichung} +Sei $\phi(x,y,z,t)$ ein physikalisches Feld mit Punkten $P(x,y,z)$ über die Zeit. + +\subsection{Euler'sche Perspektive} +Beobachtung am Punkt $P(x_0,y_0,z_0)$ wird gemessen: +$$\phi^E(t) = \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$ +Die zeitliche Änderung +$$\dot{\phi}^E(t) = \frac{\partial}{\partial t} \phi(x_0,y_0,z_0,t)$$ + +\subsection{Lagrange'sche Perspektive} +Messung wird "mitgetragen", entlang einer Trajektorie $\vec{x}(t)$ +$$\phi^L(t) = \phi(x(t),y(t),z(t),t)$$ +Die zeitliche Änderung (materielle Ableitung) +$$\dot{\phi}^L(t) = \frac{D}{D t} \phi = \frac{d}{dt} \phi \bigg( x(t),y(t),z(t),t \bigg) = \frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u} \cdot \nabla\phi$$ +Wobei $\vec{u}$ z.B. die Strömungsgeschwindigkeit ist + +\subsection{Beliebiger Pfad} +Als Beispiel bewegen wir uns in einem Flugzeug mit der Geschwindigkeit $\vec{v_F}$, dann gilt für die Veränderung +$$\frac{\partial \phi}{\partial t}\bigg|_F = \frac{D \phi}{D t} + (\vec{v_F} - \vec{u}) \cdot \nabla \phi$$ + +\subsection{Quellen und Senken} +Langrange'sche Perspektive +$$\frac{D \phi}{D t} = s$$ +Analog für Euler +$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = s - \vec{u}\cdot\nabla\phi$$ +Man Beachte den Advektionsterm $\vec{u}\cdot\nabla\phi$! + \section{Taylor-Reihe} An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$ $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$ From 7859d10953bb28d2ba9fb24b4e52d397986237ec Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: jannisp Date: Thu, 29 Jul 2021 09:43:16 +0200 Subject: [PATCH 4/4] Add lecture link --- README.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/README.md b/README.md index 0afbd6a..b100dc3 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -1,7 +1,7 @@ # Mathematik V ZF [![CC BY-SA 3.0][cc-by-sa-shield]][cc-by-sa] -Zusammenfassung für die Vorlesung *Mathematik V* bei M. A. Sprenger im FS21. +Zusammenfassung für die Vorlesung [*Mathematik V*](http://www.vvz.ethz.ch/Vorlesungsverzeichnis/lerneinheit.view?lerneinheitId=150657&semkez=2021S&ansicht=LEHRVERANSTALTUNGEN&lang=de) bei M. A. Sprenger und weitere Dozenten im FS21. ## Kompiliertes `.pdf` Findest du hier: https://n.ethz.ch/~jannisp/download/Mathematik-V/