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@@ -415,12 +415,32 @@ Wenn $D$ nicht ganzzahlig $\rightarrow$ Fraktal
 \subsubsection{Präfraktale}
 Als Präfraktale werden Fraktale einer bestimmter Ordnung verstanden. Ordnung 5 entspricht 5 Bildungsschritten. Ein ideales Fraktal besteht aus unendlich solcher Schritte. Ordnung 1 entspricht dem \textbf{Generator}.
 
+\subsection{Beispiel}
+Wenden Sie die zugrunde liegende Vorschrift für einen Würfel der Grösse $L=360\mu m$  für unendlich viele Iterationen 
+an unter der Annahme, dass «die Löcher» Körner sind. In jeder Iteration werden aus einem Würfel der Kantenlänge $l$ 27 kleine Würfel der Kantenlänge $l/3$ erzeugt; 7 werden davon weggenommen (als Loch dargestellt, das hier ein Korn sein soll) und 20 kleine 
+Würfel bleiben übrig, die dann wieder verkleinert werden. \\
+\vspace{.2cm}
+Zeigen sie, dass die in jeder Iteration erzeugten Kornvolumen durch eine geometrische Folge 
+dargestellt werden. \\
+\vspace{.2cm}
+Wir bilden die Folge der in einer Iteration $n$ erzeugten  Kornvolumen, $V_n$ ,  in  der  Einheit  von  
+Kubikmikrometern um $^3$. In jeder Iteration $n$ wird folgendes Kornvolumen erzeugt:
+$$V_n = 20^{n-1} \cdot 7 \cdot \bigg(\frac{360}{3^n}\bigg)^3$$
+Das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Folgegliedern ist:
+$$\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{20^{n} \cdot 7 \cdot \big(\frac{360}{3^n}\big)^3}{20^{n-1} \cdot 7 \cdot \big(\frac{360}{3^{n+1}}\big)^3} = \frac{20}{3^3}$$
+dieses Verhältnis ist offensichtlich von der Iterationszahl $n$ unabhängig und konstant, es handelt sich also um eine geometrische Folge. \\
+\vspace{.2cm}
+Die kumulierten Kornvolumen bilden dann eine geometrische Reihe $s_n$, mit der Formel 
+$$s_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}$$
+wobei $a_1 = V_1$ und $q=\frac{20}{27}$. Wir erhalten
+$$s_n = \sum_{i=1}^{i=n} V_i = V_1 \frac{1-(\frac{20}{27})^n}{1-\frac{20}{27}} = ... = 360^3 \bigg(1- \bigg(\frac{20}{27}\bigg)^n\bigg)$$
+Berechnen sie das in unendlich vielen Iterationen erzeugte Kornvolumen $s_\infty$
+$$s_\infty = V_1 \frac{1}{1-\frac{20}{27}} = 360^3 = 46.656\cdot 10^6 \mu m^3$$
+
 \subsection{Anwendung in der Bodenphysik}
 \subsubsection{Wassersättigung}
 $$\Theta = \frac{\theta(h)}{\theta_s} = \bigg(\frac{h_b}{h}\bigg)^\lambda$$
 
-
-
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
 $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$
@@ -458,7 +478,7 @@ Jannis Portmann, FS21
 \begin{itemize}
   \item Abb. \ref{fig:geo-coordinates}: E\^(nix) \& ttog, \url{https://de.wikipedia.org/wiki/Geographische_Koordinaten#/media/Datei:Geographic_coordinates_sphere.svg}
   \item Abb. \ref{fig:sir}, \ref{fig:sir-2}: Vorlesungsunterlagen
-  \item Abb. \ref{fig:phasenlinien}: Jannis Portmann basierend auf Vorlesungsunterlagen, CC BY-SA 3.0
+  \item Abb. \ref{fig:phasenlinien}: Jannis Portmann, basierend auf Vorlesungsunterlagen
 \end{itemize}
 
 \end{multicols*}