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Mathematik-V-ZF.tex

@@ -194,6 +194,31 @@ Analog mit dem Satz von Stokes:
 $$\xi = \frac{1}{r \, \cos\varphi} \frac{\partial v}{\partial \lambda} - \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \varphi} + \frac{\tan \varphi}{r} u$$
 Der letzte Term folgt aus der Produkteregel!
 
+\section{Matrixmethoden}
+\subsection{Equilibrium}
+Setze $\frac{df_i}{dn_j} = 0$ und löse Gleichungssystem
+
+\subsection{Jacobimatrix}
+$$J = \left( \begin{array}{ccc}
+    \frac{\partial f_1}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_1}{\partial n_k} \\
+    \vdots \ddots \vdots \\
+    \frac{\partial f_k}{\partial n_1} \ldots \frac{\partial f_k}{\partial n_k}
+\end{array} \right)$$
+
+Eigenwerte $\det(\textbf{J} - \lambda \textbf{I}) = 0$ wobei $\lambda \in \mathbb{C}, \lambda= x + iy$ \\
+
+\vspace{5px}
+\begin{itemize}
+    \item $x < 0$ für alle $\lambda_i$: stabil \\
+    \item $x = 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: kann neutral sein \\
+    \item $x > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: instabil \\
+    \item $y > 0$ für mindestens ein $\lambda_i$: Oszillation um Equilibrium \\
+    \item $x$ ist die Konvergenz-/Divergenz-Rate zum/vom Equlibrium \\
+    \item $1/y$ ist die Periode der Oszillation
+\end{itemize}
+
+
+
 \section{Taylor-Reihe}
 An der stelle $a$ einer Funtkion $f(x)$
 $$f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + ...$$